《2025年启航新课堂八年级数学上册北师大版》

2. (1) 若方程组 $ \begin{cases} x - y - 3 = 0, \\ 2x - y + 2 = 0 \end{cases} $ 的解是 $ unitable7 $ 则直线 $ y = x - 3 $ 与 $ y = 2x + 2 $ 的交点坐标为$(-5, -8)$；
(2) 对于方程组 $ \begin{cases} x + y - 2 = 0, \\ 4x + 4y - 8 = 0 \end{cases} $ 而言,它的解的情况是有无数个解,由此可知函数 $ y = -x + 2 $ 的图象与 $ 4y = -4x + 8 $ 的图象在同一坐标系中的位置关系必然是重合。

答案：
(1) $(-5, -8)$；
(2) 有无数个解，重合

例2 如图,直线 $ y = kx - 6 $ 经过点 $ A(4, 0) $,直线 $ y = -3x + 3 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ B $,且两直线相交于点 $ C $。
(1) 求 $ k $ 的值；$\frac{3}{2}$
(2) 求 $ \triangle ABC $ 的面积。$\frac{9}{2}$

答案：
(1) $k = \frac{3}{2}$。
(2) $S_{\triangle ABC} = \frac{9}{2}$。

3. 如图,一次函数 $ y = -\frac{1}{2}x + b $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ A $,与 $ x $ 轴交于点 $ B $,与正比例函数 $ y = 2x $ 的图象交于点 $ C(1, a) $。
(1) 填空：$ a = $2,$ b = $$\frac{5}{2}$；
(2) 方程组 $ \begin{cases} 2x - y = 0, \\ \frac{1}{2}x + y = b \end{cases} $ 的解为$\begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases}$；
(3) 在 $ y = 2x $ 的图象上是否存在点 $ P $,使得 $ \triangle BOP $ 的面积比 $ \triangle AOP $ 的面积大 5？若存在,请求出符合条件的点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
(1) $2, \frac{5}{2}$；
(2) $\begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases}$；
(3) 存在。点 $P$ 的坐标为 $(\frac{4}{3}, \frac{8}{3})$ 或 $(-\frac{4}{3}, -\frac{8}{3})$。