《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1) 正弦函数 $ y = \sin x $，$ x \in [0, 2\pi] $ 的图象中，五个关键点是：$ (0, 0) $，$ \left( \frac{\pi}{2}, 1 \right) $，$ (\pi, 0) $，\left(\frac{3\pi}{2},-1\right)，$ (2\pi, 0) $.
(2) 余弦函数 $ y = \cos x $，$ x \in [0, 2\pi] $ 的图象中，五个关键点是：$ (0, 1) $，$ \left( \frac{\pi}{2}, 0 \right) $，(\pi,-1)，$ \left( \frac{3\pi}{2}, 0 \right) $，$ (2\pi, 1) $.

答案： $1.(1)\left(\frac{3\pi}{2},-1\right) (2)(\pi,-1)$

2. 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 $ k \in \mathbf{Z} $)

答案： $2.\{x\mid x\in \mathbf{R},且x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}\} [-1,1] [-1,1]$
$2\pi 2\pi \pi $奇函数 偶函数
$\left[2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2}\right] \left[2k\pi-\pi,2k\pi\right]$
$\left(k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2}\right) \left[2k\pi+\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{3\pi}{2}\right]$
$\left[2k\pi,2k\pi+\pi\right] (k\pi,0) \left(k\pi+\frac{\pi}{2},0\right)$
$x=k\pi+\frac{\pi}{2} x=k\pi$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) 余弦函数 $ y = \cos x $ 的对称轴是 $ y $ 轴. ()
(2) 正切函数 $ y = \tan x $ 在定义域内是增函数. ()
(3) 已知 $ y = k\sin x + 1 $，$ x \in \mathbf{R} $，则 $ y $ 的最大值为 $ k + 1 $. ()
(4) $ y = \sin |x| $ 是偶函数. ()

答案： $1.(1)× (2)× (3)× (4)\surd [(1)$余弦函数
$y=\cos x $的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中
的一条.
(2)正切函数$ y=\tan x $在每一个区间
$\left(k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2}\right)(k\in \mathbf{Z})$上都是增函数，但
在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
(3)当 k＞0 时，$y_{\max}=k+1；$
当 k＜0 时，$y_{\max}=-k+1.]$

2. (人教 A 必修一 P214T10 改编)函数 $ y = \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) $，$ x \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] $ 的值域是\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right].

答案： $2.\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right] [$由$ x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right] $得$ x+\frac{\pi}{3}\in$
$\left[\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{6}\right]，$
所以$ y=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\in\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right].]$

3. (湘教必修一 P186T5(1) 改编)函数 $ f(x) = \frac{1}{2} \sin \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) $，$ x \in \mathbf{R} $ 的减区间是\left[\frac{5\pi}{12}+k\pi,\frac{11\pi}{12}+k\pi\right](k\in \mathbf{Z}).

答案： $3.\left[\frac{5\pi}{12}+k\pi,\frac{11\pi}{12}+k\pi\right](k\in \mathbf{Z})$
[由$\frac{\pi}{2}+2k\pi\leqslant 2x\leqslant\frac{3\pi}{2}+2k\pi,k\in \mathbf{Z}，$
解得$\frac{5\pi}{12}+k\pi\leqslant x\leqslant\frac{11\pi}{12}+k\pi,k\in \mathbf{Z}，$
故 f(x)的单调递减区间是
$\left[\frac{5\pi}{12}+k\pi,\frac{11\pi}{12}+k\pi\right](k\in \mathbf{Z}).]$

4. (北师大必修二 P62 例 4 改编)函数 $ y = \tan \left( x - \frac{\pi}{4} \right) $ 的定义域为\{x\in \mathbf{R}\mid x\neq\frac{3\pi}{4}+k\pi,k\in \mathbf{Z}\}.

答案： $4.\{x\in \mathbf{R}\mid x\neq\frac{3\pi}{4}+k\pi,k\in \mathbf{Z}\} [$由$ x-\frac{\pi}{4}\neq$
$\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in \mathbf{Z},$即$ x\neq\frac{3\pi}{4}+k\pi,k\in \mathbf{Z}.$
故函数$ y=\tan\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$的定义域为
$\{x\in \mathbf{R}\mid x\neq\frac{3\pi}{4}+k\pi,k\in \mathbf{Z}\}.]$