《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例 3 已知 $ f(x) = 2^x - \frac{1}{x - 1} $，$ a = f(\sqrt{2}) $，$ b = f(\sqrt{3}) $，$ c = f(\sqrt{5}) $，则 ()

A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ a ＞ c ＞ b $
C.$ c ＞ a ＞ b $
D.$ c ＞ b ＞ a$$$

答案： D

例 4 已知函数 $ f(x) = \ln x + 2^x $，若 $ f(x^2 - 4) ＜ 2 $，则实数 $ x $ 的取值范围是 ______。

答案： $(-\sqrt{5}, -2) \cup (2, \sqrt{5})$

例 5 (2025·保定调研)已知 $ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $，函数 $ f(x) = \begin{cases} 3a - x, & x ＜ 2 \\ \log_a (x - 1) - 1, & x \geq 2 \end{cases} $ 在 $ \mathbf{R} $ 上单调，则 $ a $ 的取值范围是 ()

A.$ (1, +\infty) $
B.$ \left[ \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right] $
C.$ \left[ \frac{2}{3}, 1 \right) $
D.$ \left[ \frac{1}{3}, 1 \right)$$$

答案： D

(1) (2024·新高考Ⅰ卷)已知函数 $ f(x) = \begin{cases} -x^2 - 2ax - a, & x ＜ 0 \\ e^x + \ln(x + 1), & x \geq 0 \end{cases} $ 在 $ \mathbf{R} $ 上单调递增，则 $ a $ 的取值范围是 ()

A.$ (-\infty, 0] $
B.$ [-1, 0] $
C.$ [-1, 1] $
D.$ [0, +\infty)$$$

答案： B

(2) 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} -x^2 - 2x, & x \geq 0 \\ x^2 - 2x, & x ＜ 0 \end{cases} $，若 $ f(3 - a^2) ＜ f(2a) $，则实数 $ a $ 的取值范围是 ______。

答案： $(-3,1)$