《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 两条异面直线所成角的求法
(1)几何法:平移法.
(2)向量法:设异面直线$l_1$，$l_2$所成的角为$\theta$，其方向向量分别为$\boldsymbol{u}$，$\boldsymbol{v}$，则$\cos\theta = |\cos\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle| =$$\frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|}$$=$$|\frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|} |$.

答案： 1.
(2)$\begin{matrix} \frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|} | \end{matrix}$

2. 直线和平面所成角的求法
(1)几何法:求直线与平面所成的角的关键是作出直线在平面上的射影，常用方法是寻找经过此直线并与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质确定直线在平面上的射影.
(2)向量法:直线$AB$与平面$\alpha$相交于点$B$，设直线$AB$与平面$\alpha$所成的角为$\theta$，直线$AB$的方向向量为$\boldsymbol{u}$，平面$\alpha$的法向量为$\boldsymbol{n}$，则$\sin\theta = |\cos\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{n}\rangle| =$$\frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|}$$=$$|\frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|} |$.

答案： 2.
(2)$\begin{matrix} \frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|} | \end{matrix}$

3. 平面与平面的夹角
(1)定义:平面$\alpha$与平面$\beta$相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于$90°$的二面角称为平面$\alpha$与平面$\beta$的夹角.
(2)两平面夹角的求法
①几何法:找到二面角的棱的一个垂面，即可确定平面角(夹角与其相等或互补).
②向量法:设平面$\alpha$，$\beta$的法向量分别是$\boldsymbol{n}_1$，$\boldsymbol{n}_2$，平面$\alpha$与平面$\beta$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta = |\cos\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle| =$$\frac{\boldsymbol{n_1} \cdot \boldsymbol{n_2}}{|\boldsymbol{n_1}||\boldsymbol{n_2}|}$$=$$|\frac{\boldsymbol{n_1} \cdot \boldsymbol{n_2}}{|\boldsymbol{n_1}||\boldsymbol{n_2}|} |$.

答案： 3.
(2)②$\begin{matrix} \frac{\boldsymbol{n_1} \cdot \boldsymbol{n_2}}{|\boldsymbol{n_1}||\boldsymbol{n_2}|} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\frac{\boldsymbol{n_1} \cdot \boldsymbol{n_2}}{|\boldsymbol{n_1}||\boldsymbol{n_2}|} | \end{matrix}$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角. ( )
(2)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面所成的角. ( )
(3)两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角. ( )
(4)两异面直线所成角的范围是$(0,\frac{\pi}{2}]$，直线与平面所成角的范围是$[0,\frac{\pi}{2}]$，二面角的范围是$[0,\pi]$，两个平面夹角的范围是$[0,\frac{\pi}{2}]$. ( )

答案： 1.
(1)×　
(2)×　
(3)×　
(4)√　[
(1)两直线的方向向量的夹角是两条直线所成的角或其补角；
(2)直线的方向向量$\boldsymbol{u}$，平面的法向量$\boldsymbol{n}$，直线与平面所成的角为$\theta$，则$\sin\theta =|\cos\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{n}\rangle|$；
(3)两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角或其补角.]

2. (苏教选修二 P35T1(2)改编)若平面$\alpha$，$\beta$的法向量分别为$\boldsymbol{n}_1=(2,-3,5)$，$\boldsymbol{n}_2=(-3,1,-4)$，则( )

A.$\alpha//\beta$
B.$\alpha\perp\beta$
C.$\alpha$，$\beta$相交但不垂直
D.以上均不正确

答案： 2.C [因为$\boldsymbol{n_1} \cdot \boldsymbol{n_2} = -6 - 3 - 20 \neq 0$，所以$\boldsymbol{n_1}$与$\boldsymbol{n_2}$不垂直，故两个平面不垂直. 又$\boldsymbol{n_1}$与$\boldsymbol{n_2}$不共线，所以$\alpha$与$\beta$不平行，所以$\alpha$，$\beta$相交但不垂直.]

3. (苏教选修二 P35T1(2)改编)已知向量$\boldsymbol{m}$，$\boldsymbol{n}$分别是直线$l$和平面$\alpha$的方向向量和法向量，若$\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle = -\frac{1}{2}$，则直线$l$与平面$\alpha$所成的角为 (A)

A.$30°$
B.$60°$
C.$120°$
D.$150°$

答案： 3.A　[设直线$l$与平面$\alpha$所成的角为$\theta$，则$\sin\theta = |\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle| = \frac{1}{2}$，所以直线$l$与平面$\alpha$所成的角为$30^{\circ}$]

4. 已知两平面的法向量分别为$\boldsymbol{m}=(0,1,0)$，$\boldsymbol{n}=(0,1,1)$，则两平面所成的二面角为 ()

A.$\frac{\pi}{4}$
B.$\frac{3\pi}{4}$
C.$\frac{\pi}{4}$或$\frac{3\pi}{4}$
D.$\frac{\pi}{2}$或$\frac{3\pi}{4}$

答案： 4.C [$\because \boldsymbol{m} = (0,1,0)$，$\boldsymbol{n} = (0,1,1)$，$\therefore \boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 1$，$|\boldsymbol{m}| = 1$，$|\boldsymbol{n}| = \sqrt{2}$，若两平面所成的二面角为$\theta$，则$|\cos\theta| = |\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle| = \frac{|\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore$两平面所成的二面角为$\frac{\pi}{4}$或$\frac{3\pi}{4}$]