《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

考点一 复数的概念
例 1 (1)(2025·广州调研)复数$z$满足$(1 + i)z = i$,$i$为虚数单位,则下列说法正确的是(C)

A.$|z| = 1$
B.$\overline{z}$在复平面内对应的点位于第二象限
C.$z$的实部为$\frac{1}{2}$
D.$z$的虚部为$\frac{1}{2}i$

答案： 例1
(1)C [
(1)
∵(1+i)z=i,
∴$z=\frac{i}{1+i}=\frac{i(1−i)}{(1+i)(1−i)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i,$
则|z|$=\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$故A错误；
z在复平面内对应的点的坐标为$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})，$
位于第一象限，故B错误；
z的实部为$\frac{1}{2},$故C正确；
z的虚部为$\frac{1}{2},$故D错误.]

(2)(2025·宜春质检)如果复数$z = m^2 + m - 2 - (m - 1)i$是纯虚数,$m∈R$,$i$是虚数单位,则(C)

A.$m\neq1$且$m\neq - 2$
B.$m = 1$
C.$m = - 2$
D.$m = 1$或$m = - 2$

答案：
(2)C [
(2)由复数$z=m^{2}+m−2−(m−1)i$是纯虚数，
得$\begin{cases}m^{2}+m−2=0,\\m−1≠0,\end{cases}$解得m=−2.]

(1)(多选)(2025·漳州模拟)若$(1 + i)a + bi = 4i$,$a,b∈R$,则(BCD)

A.$a = 1$
B.$b = 4$
C.$a - b = - 4$
D.$ab = 0$

答案： 训练 1
(1)BCD [
(1)由题意可得，
(1+i)a+bi=a+(a+b)i=4i,
则$\begin{cases}a=0,\\a+b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=0,\\b=4,\end{cases}$
可得a−b=−4,ab=0,故B,C,D正确，A错误.]

(2)已知复数$z$满足$|z| = |z - 1| = 1$,且复数$z$对应的点在第一象限,则下列结论正确的是(D)

A.复数$z$的虚部为$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
C.$z^2 = z + 1$
D.复数$z$的共轭复数为$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

答案：
(2)D [
(2)设复数z=a+bi(a,b∈R),
因为|z|=|z−1|=1,且复数z对应的点在第一象限，
答案解析与规律方法 533
所以$\begin{cases}a^{2}+b^{2}=1,\a−1)^{2}+b^{2}=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b=\frac{\sqrt{3}}{2},\end{cases}$
即$z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i.$
对于A,复数z的虚部为$\frac{\sqrt{3}}{2},$故A错误；
对于$B,z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,$故B错误；
对于C,因为$z^{2}=(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i≠z+1,$故C错误；
对于D,复数z的共轭复数为$\frac{1}{2}−\frac{\sqrt{3}}{2}i,$故D正确.]

考点二 复数的四则运算
例 2 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)若$\frac{z}{z - 1} = 1 + i$,则$z =$(C)

A.$-1 - i$
B.$-1 + i$
C.$1 - i$
D.$1 + i$

答案： 例2
(1)C [
(1)因为$\frac{z}{z−1}=1+i,$
所以$\frac{z−1}{z}=\frac{1}{1+i}$
即$1−\frac{1}{z}=\frac{1−i}{(1+i)(1−i)}=\frac{1}{2}−\frac{1}{2}i,$
即$\frac{1}{z}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=\frac{1+i}{2},$
所以$z=\frac{2}{1+i}=1−i,$故选C.]

(2)(2025·郑州模拟)若$z = \frac{i^{2026} + 2}{1 - i}$,则$|z| =$(A)

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{2}$

答案： $(2)A [(2)z=\frac{i^{2026}+2}{1−i}=\frac{1×506+2+2}{1−i}=\frac{1+i}{(1−i)(1+i)}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i,$
|z|$=\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.]$

(1)(2025·武汉调研)复数$\frac{1 + \sqrt{3}i}{\sqrt{3} + i^3} =$(B)

A.$-i$
B.$i$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2} - i$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2} + i$

答案： 训练 2
(1)B [
(1)复数$\frac{1+\sqrt{3}i}{\sqrt{3}+i^{3}}$
$=\frac{(1+\sqrt{3}i)(\sqrt{3}+i)}{(\sqrt{3}−i)(\sqrt{3}+i)}=i.]$

(2)(多选)(2025·湖南名校联考)已知复数$z_1,z_2$满足$3z_1 + z_2 = -1 - 2i$,$z_1 + 3z_2 = 5 + 2i$,则(ABD)

A.$z_1 = -1 - i$
B.$z_2 = 2 + i$
C.$z_1 - z_2 = -3 + 2i$
D.$\frac{z_1}{z_2} = \frac{-3 - i}{5}$

答案：
(2)ABD [
(2)
∵$3z_{1}+z_{2}=−1−2i,$
$z_{1}+3z_{2}=5+2i,$
∴$z_{1}=−1−i,z_{2}=2+i,$
∴$z_{1}−z_{2}=−3−2i,$
$z_{1}=\frac{−1−i}{z_{2}}−\frac{(1+i)(2−i)}{2+i}=\frac{−3−i}{5}.]$