《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

(1)(2024·全国甲卷)设向量$\boldsymbol{a}=(x + 1,x)$，$\boldsymbol{b}=(x,2)$，则()

A.$x = -3$是$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$的必要条件
B.$x = -3$是$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$的必要条件
C.$x = 0$是$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$的充分条件
D.$x = -1+\sqrt{3}$是$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$的充分条件

答案： 训练2
(1)C[
(1)$\mathbf{a}\perp\mathbf{b}\Leftrightarrow x^{2}+x + 2 = 0\Leftrightarrow x=-1$或$x = 0$是$\mathbf{a}\perp\mathbf{b}$的充分条件，$x = 0$是$\mathbf{a}\perp\mathbf{b}$的充分条件，故A错误，C正确.$\mathbf{a}//\mathbf{b}\Leftrightarrow2x + 2 = x^{2}-2x - 2 = 0\Leftrightarrow x = 1\pm\sqrt{3}$，故B,D错误.]

(2)(2025·泰安一模)已知非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}|=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}|\boldsymbol{b}|$，若$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp(3\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为(C)

A.$\dfrac{\pi}{4}$
B.$\dfrac{\pi}{2}$
C.$\dfrac{3\pi}{4}$
D.$\pi$

答案： 训练2
(2)C[
(2)因为$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\perp(3\mathbf{a}-2\mathbf{b})$，所以$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot(3\mathbf{a}-2\mathbf{b})=0$，则$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2|\mathbf{b}|^{2}-3|\mathbf{a}|^{2}$，又$|\mathbf{a}|=\frac{2\sqrt{2}}{3}|\mathbf{b}|$，则$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2|\mathbf{b}|^{2}-3(\frac{2\sqrt{2}}{3}|\mathbf{b}|)^{2}=-\frac{2}{3}|\mathbf{b}|^{2}$，所以$\cos\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\cdot|\mathbf{b}|}=\frac{-\frac{2}{3}|\mathbf{b}|^{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}|\mathbf{b}|\cdot|\mathbf{b}|}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，又$0\leqslant\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle\leqslant\pi$，所以$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$的夹角为$\frac{3\pi}{4}$.]

(3)(多选)(2025·长沙模拟)已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}^2 = 0$，且$|\boldsymbol{a}| = 2$，则(ABC)

A.$|\boldsymbol{b}| = 2$
B.$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$
C.$|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}| = 6$
D.$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=4$

答案： 训练2
(3)ABC[
(3)因为$|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|$，所以$|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|^{2}=|\mathbf{a}|^{2}$，即$\mathbf{a}^{2}+4\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+4\mathbf{b}^{2}=\mathbf{a}^{2}$，整理可得$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{b}^{2}=0$，再由$\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=\mathbf{a}^{2}$，且$|\mathbf{a}|=2$，可得$\mathbf{a}^{2}=\mathbf{b}^{2}=4$，所以$|\mathbf{b}|=2,\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=-4$，A正确，D错误；$\cos\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=-1$，即向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$的夹角$\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle=\pi$，故向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$共线且方向相反，所以$\mathbf{a}+\mathbf{b}=0$，B正确；$|\mathbf{a}-2\mathbf{b}|=\sqrt{(\mathbf{a}-2\mathbf{b})^{2}}=\sqrt{\mathbf{a}^{2}-4\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+4\mathbf{b}^{2}}=\sqrt{4 + 16 + 16}=6$，C正确.]

考点三 平面向量的新定义问题
例4 (2025·北京人大附中统练)定义平面向量的一种运算$\boldsymbol{a}\odot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|×|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|×\sin\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$，其中$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$是$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角，给出下列命题：①若$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = 90^{\circ}$，则$\boldsymbol{a}\odot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}^2+\boldsymbol{b}^2$；②若$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$，则$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\odot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) = 4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$；③若$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$，则$\boldsymbol{a}\odot\boldsymbol{b}\leqslant2|\boldsymbol{a}|^2$；④若$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol{b}=(-2,2)$，则$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\odot\boldsymbol{b}=\sqrt{10}$.其中真命题的序号是________.

答案： 例4①③[对于①，若$\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle = 90^{\circ}$，则$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|,\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$，则$\mathbf{a}\odot\mathbf{b}=|\mathbf{a}+\mathbf{b}|×|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=|\mathbf{a}+\mathbf{b}|^{2}=\mathbf{a}^{2}+\mathbf{b}^{2}+2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}^{2}+\mathbf{b}^{2}$，故①正确；对于②，若$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$，则$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\perp(\mathbf{a}-\mathbf{b})$，则$(\mathbf{a}+\mathbf{b})$与$(\mathbf{a}-\mathbf{b})$的夹角为$90^{\circ}$，则$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\odot(\mathbf{a}-\mathbf{b})=|(\mathbf{a}+\mathbf{b})+(\mathbf{a}-\mathbf{b})|×|(\mathbf{a}+\mathbf{b})-(\mathbf{a}-\mathbf{b})|×\sin90^{\circ}=4|\mathbf{a}|×|\mathbf{b}|$，故②错误；对于③，若$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$，则$\mathbf{a}\odot\mathbf{b}\leqslant|\mathbf{a}+\mathbf{b}|×|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=\sqrt{2\mathbf{a}^{2}+2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}×\sqrt{2\mathbf{a}^{2}-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}=\sqrt{4\mathbf{a}^{4}-4(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^{2}}\leqslant2|\mathbf{a}|^{2}$，故③正确；对于④，若$\mathbf{a}=(1,2),\mathbf{b}=(-2,2)$，则$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(-1,4),\mathbf{a}+2\mathbf{b}=(-3,6)$，则$\cos\langle\mathbf{a}+\mathbf{b},\mathbf{a}+2\mathbf{b}\rangle=\frac{(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}+2\mathbf{b})}{2\sqrt{2}×\sqrt{17}}=\frac{5}{\sqrt{34}}$，$\sin\langle\mathbf{a}+\mathbf{b},\mathbf{a}+2\mathbf{b}\rangle=\frac{3}{\sqrt{34}}$，则$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\odot(\mathbf{a}+2\mathbf{b})=|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|×|\mathbf{a}|×\sin\langle\mathbf{a}+\mathbf{b},\mathbf{a}+2\mathbf{b}\rangle=3\sqrt{5}×\sqrt{5}×\frac{3}{\sqrt{34}}=\frac{45}{\sqrt{34}}\neq\sqrt{10}$，故④错误.]

(2025·苏州调研)假设二维空间中有两个点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$O$为坐标原点，余弦相似度为向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$夹角的余弦值，记作$\cos(A,B)$，余弦距离为$1 - \cos(A,B)$. 已知$P(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$Q(\cos\beta,\sin\beta)$，$R(\cos\alpha,-\sin\alpha)$，若$P$，$Q$的余弦距离为$\dfrac{1}{3}$，$\tan\alpha\cdot\tan\beta=\dfrac{1}{7}$，则$Q$，$R$的余弦距离为(A)

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{7}$

答案： 训练3A[由题意得$\overrightarrow{OP}=(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$\overrightarrow{OQ}=(\cos\beta,\sin\beta),\overrightarrow{OR}=(\cos\alpha,-\sin\alpha)$，则$\cos\langle\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}\rangle=\frac{\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}|\cdot|\overrightarrow{OQ}|}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{2}{3}$，又$\tan\alpha\tan\beta=\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}=\frac{1}{7}$，$\therefore\cos\alpha\cos\beta=7\sin\alpha\sin\beta$，$\therefore\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{12},\cos\alpha\cos\beta=\frac{7}{12}$，则$1-\cos\langle\overrightarrow{Q},\overrightarrow{R}\rangle=1-\frac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}{1}=1-(\frac{7}{12}-\frac{1}{12})=\frac{1}{2}.$