《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前 $ n $ 项和公式：$ S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}= $$na_1+\frac{n(n - 1)}{2}d$.
(2)等比数列的前 $ n $ 项和公式：$ S_{n}=\begin{cases}na_{1},q = 1,\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}= \end{cases} $$\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q},q\neq1$.

答案： 1.
(1)$na_1+\frac{n(n - 1)}{2}d$
(2)$\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q},q\neq1$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若数列$\{ a_{n}\}$为等比数列，且公比不等于 $ 1 $，则其前 $ n $ 项和 $ S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n + 1}}{1 - q} $.(√)
(2)当 $ n\geq2 $ 时，$\frac{1}{n^{2}-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n - 1}-\frac{1}{n + 1})$.(√)
(3)求 $ S_{n}=a + 2a^{2}+3a^{3}+\cdots + na^{n} $ 时，只要把上式等号两边同时乘以 $ a $ 即可根据错位相减法求和.(×)
(4)若数列 $ a_{1},a_{2}-a_{1},\cdots,a_{n}-a_{n - 1} $ 是首项为 $ 1 $，公比为 $ 3 $ 的等比数列，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式是 $ a_{n}=\frac{3^{n}-1}{2} $.(√)

答案： 1.
(1)√
(2)√
(3)×
(4)√ [
(3)要分$a = 0$或$a = 1$或$a\neq0$且$a\neq1$讨论求解.]

2. (苏教选修一 P181T11(1)改编)数列$\{ a_{n}\}$中，$ a_{n}=\frac{1}{n(n + 1)} $，则数列$\{ a_{n}\}$的前 $ 2026 $ 项和 $ S_{2026}= $$\frac{2026}{2027}$.

答案： 2.$\frac{2026}{2027}$[由题意得$a_n=\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$，故$S_{2026}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{2026}-\frac{1}{2027})=1-\frac{1}{2027}=\frac{2026}{2027}$.]

3. (人教 A 选修二 P40 习题 T3(1)改编)已知$ a_{n}=2^{n}+n $，则数列$\{ a_{n}\}$的前 $ n $ 项和$ S_{n}= $$2^{n + 1}-2+\frac{n^2}{2}+\frac{1}{2}n$.

答案： 3.$2^{n + 1}-2+\frac{n^2}{2}+\frac{1}{2}n$[$S_n=(2 + 2^2+\cdots+2^n)+(1 + 2+\cdots+n)=\frac{2(1 - 2^n)}{1 - 2}+\frac{1}{2}n(n + 1)=2^{n + 1}-2+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n$.]

4. (人教 B 选修三 P44T1 改编)数列$\{ (n + 3)\cdot 2^{n - 1}\}$前 $ 20 $ 项的和为$22×2^{20}-2$.

答案： 4.$22×2^{20}-2$[$S_{20}=4×1+5×2^1+6×2^2+\cdots+23×2^{19},2S_{20}=4×2+5×2^2+6×2^3+\cdots+23×2^{20}$，两式相减，得$-S_{20}=4 + 2+2^2+\cdots+2^{19}-23×2^{20}=4+\frac{2(1 - 2^{19})}{1 - 2}-23×2^{20}=-22×2^{20}+2$，故$S_{20}=22×2^{20}-2$.]