《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 等差数列的概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式:$a_{n + 1}-a_n = d(n\in\mathbf{N}^*,d$为常数).
(2)等差中项:由三个数$a,A,b$组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列,这时A叫做$a$与$b$的等差中项,根据等差数列的定义可知$2A =$$a＋b$.

答案： 1.
(1)同一个常数
(2)A $a＋b$

2. 等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列$\{ a_n\}$的首项是$a_1$,公差是$d$,则其通项公式为$a_n =$$a_1＋(n－1)d$.
(2)前n项和公式:$S_n =$$na_1＋\frac{n(n－1)d}{2}$$=$$\frac{n(a_1＋a_n)}{2}$.

答案： 2.
(1)$a_1＋(n－1)d$
(2)$na_1＋\frac{n(n－1)d}{2}$ $\frac{n(a_1＋a_n)}{2}$

3. 等差数列的性质
(1)通项公式的推广:$a_n = a_m +$$(n－m)d$$(n,m\in\mathbf{N}^*)$.
(2)若$\{ a_n\}$为等差数列,且$k + l = m + n(k,l,m,n\in\mathbf{N}^*)$,则$a_k＋a_i＝a_m＋a_n$.
(3)若$\{ a_n\}$是等差数列,公差为$d$,则$a_k,a_{k + m},a_{k + 2m},\cdots(k,m\in\mathbf{N}^*)$是公差为md的等差数列.
(4)若$S_n$为等差数列$\{ a_n\}$的前n项和,则数列$S_m,S_{2m}-S_m,S_{3m}-S_{2m},\cdots$也是等差数列.
(5)若$S_n$为等差数列$\{ a_n\}$的前n项和,则数列$\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$也为等差数列.

答案： 3.
(1)$(n－m)d$
(2)$a_k＋a_i＝a_m＋a_n$
(3)md

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)数列$\{ a_n\}$为等差数列的充要条件是对任意$n\in\mathbf{N}^*$,都有$2a_{n + 1}=a_n + a_{n + 2}$. (√)
(2)等差数列$\{ a_n\}$的单调性是由公差$d$决定的. (√)
(3)数列$\{ a_n\}$为等差数列的充要条件是其通项公式为$n$的一次函数. (×)
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于$n$的二次函数. (×)

答案： 1.
(1)√
(2)√
(3)×
(4)× [
(3)若公差$d＝0$，则通项公式不是$n$的一次函数.
(4)若公差$d＝0$，则前n项和不是$n$的二次函数.]

2. (人教A选修二P15T4改编)已知等差数列$\{ a_n\}$中,$a_4 + a_8 = 20,a_7 = 12$,则$a_4 =$6.

答案： 2.6 [由题意可得$\begin{cases}a_1＋3d＋a_1＋7d＝20,\\a_1＋6d＝12,\end{cases}$
解得$a_1＝0$，$d＝2$，故$a_4＝a_1＋3d＝6$.]

3. (北师大选修二P19练习T2改编)在等差数列$\{ a_n\}$中,已知$a_3 + a_{15}=40$,则$S_{17}=$340.

答案： 3.340 [$S_{17}＝\frac{17}{2}(a_1＋a_{17})$
$＝\frac{17}{2}(a_3＋a_{15})＝\frac{17}{2}×40＝340$.]

4. (苏教选修一P151T6改编)设等差数列$\{ a_n\}$的前n项和为$S_n$,若$S_8 = 100,S_{16}=392$,则$S_{24}=$876.

答案： 4.876 [法一 由$S_8＝8a_1＋\frac{8×7}{2}d＝100$，
$S_{16}＝16a_1＋\frac{16×15}{2}d＝392$，得$a_1＝2$，$d＝3$，
$\therefore S_{24}＝24×2＋\frac{24×23}{2}×3＝876$.
法二 $\because S_8$，$S_{16}－S_8$，$S_{24}－S_{16}$成等差数列，
$\therefore 2(S_{16}－S_8)＝S_8＋(S_{24}－S_{16})$，
得$S_{24}＝3S_{16}－3S_8＝876$.]