《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例1 (1)(2025·重庆质检)函数$f(x)=\frac {3x}{\sqrt {4 - x}}+\sqrt {2^{x}-2}$的定义域是(B)

A.$[1,4]$
B.$[1,4)$
C.$[1,+∞)$
D.$[2,4)$

答案： 例1
(1)B
(2)$[-\frac{11}{2},2]$ [
(1)由题意知，函数$f(x)=\frac{3x}{\sqrt{4 - x}}+\sqrt{2^{x}-2}$有意义，需满足$\begin{cases}4 - x＞0,\\2^{x}-2\geq0\end{cases}$，解得$1\leq x＜4$，故$f(x)=\frac{3x}{\sqrt{4 - x}}+\sqrt{2^{x}-2}$的定义域为$[1,4)$.
(2)因为$-2\leq x\leq3$，所以$-8\leq3x - 2\leq7$，所以$f(x)$的定义域为$[-8,7]$，要使$f(2x + 3)$有意义，需满足$-8\leq2x + 3\leq7$，解得$-\frac{11}{2}\leq x\leq2$，所以函数$f(2x + 3)$的定义域为$[-\frac{11}{2},2]$]

(2)（2024·邢台调研）若函数$f(3x - 2)$的定义域为$[-2,3]$，则函数$f(2x + 3)$的定义域为______.

答案： 例1
(1)B
(2)$[-\frac{11}{2},2]$ [
(1)由题意知，函数$f(x)=\frac{3x}{\sqrt{4 - x}}+\sqrt{2^{x}-2}$有意义，需满足$\begin{cases}4 - x＞0,\\2^{x}-2\geq0\end{cases}$，解得$1\leq x＜4$，故$f(x)=\frac{3x}{\sqrt{4 - x}}+\sqrt{2^{x}-2}$的定义域为$[1,4)$.
(2)因为$-2\leq x\leq3$，所以$-8\leq3x - 2\leq7$，所以$f(x)$的定义域为$[-8,7]$，要使$f(2x + 3)$有意义，需满足$-8\leq2x + 3\leq7$，解得$-\frac{11}{2}\leq x\leq2$，所以函数$f(2x + 3)$的定义域为$[-\frac{11}{2},2]$]

(1)已知函数$f(x)$的定义域为$(1,+∞)$，则函数$F(x)=f(2^{x}-3)+\sqrt {3 - x}$的定义域为(A)

A.$(2,3]$
B.$(-2,3]$
C.$[-2,3]$
D.$(0,3]$

答案： 训练1
(1)A
(2)$-3$ $(-\infty,3)$ [
(1)函数$f(x)$的定义域为$(1,+\infty)$，由题意可知，$\begin{cases}2^{x}-3＞1,\\3 - x\geq0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x＞2,\\x\leq3\end{cases}$，即$2＜x\leq3$，故函数$F(x)$的定义域为$(2,3]$.
(2)因为函数$f(x)=\frac{\sqrt{x + a}}{x - b}$的定义域为$\begin{cases}x + a\geq0,\\x - b\neq0\end{cases}$，所以$\begin{cases}x\geq - a,\\x\neq b\end{cases}$而函数$f(x)=\frac{\sqrt{x + a}}{x - b}$的定义域为$[3,+\infty)$，所以$-a = 3$，$b＜3$，即$a = - 3$，实数$b$的取值范围为$(-\infty,3)$.]

(2)(2024·惠州质检)若函数$f(x)=\frac {\sqrt {x + a}}{x - b}$的定义域为$[3,+∞)$，则实数$a =$-3，实数$b$的取值范围为(-∞,3).

答案： 训练1
(1)A
(2)$-3$ $(-\infty,3)$ [
(1)函数$f(x)$的定义域为$(1,+\infty)$，由题意可知，$\begin{cases}2^{x}-3＞1,\\3 - x\geq0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x＞2,\\x\leq3\end{cases}$，即$2＜x\leq3$，故函数$F(x)$的定义域为$(2,3]$.
(2)因为函数$f(x)=\frac{\sqrt{x + a}}{x - b}$的定义域为$\begin{cases}x + a\geq0,\\x - b\neq0\end{cases}$，所以$\begin{cases}x\geq - a,\\x\neq b\end{cases}$而函数$f(x)=\frac{\sqrt{x + a}}{x - b}$的定义域为$[3,+\infty)$，所以$-a = 3$，$b＜3$，即$a = - 3$，实数$b$的取值范围为$(-\infty,3)$.]

例2 (1)已知$f(1 - \sin x)=\cos^{2}x$，求$f(x)$的解析式；
(2)已知$f(x+\frac {1}{x})=x^{2}+\frac {1}{x^{2}}$，求$f(x)$的解析式；
(3)已知$f(x)$是一次函数且$3f(x + 1)-2f(x - 1)=2x + 17$，求$f(x)$的解析式；
(4)已知$f(x)$满足$2f(x)+f(-x)=3x$，求$f(x)$的解析式.f(x)=2x - x²，x∈[0,2]f(x)=x² - 2，x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)f(x)=2x + 7f(x)=3x

答案： 例2 解
(1)(换元法) 设$1 - \sin x = t$，$t\in[0,2]$，则$\sin x = 1 - t$，$\because f(1 - \sin x)=\cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x$，$\therefore f(t)=1 - (1 - t)^{2}=2t - t^{2}$，$t\in[0,2]$.即$f(x)=2x - x^{2}$，$x\in[0,2]$.
(2)(配凑法) $\because f(x+\frac{1}{x})=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-2$，$\therefore f(x)=x^{2}-2$，$x\in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$.
(3)(待定系数法) $\because f(x)$是一次函数，可设$f(x)=ax + b(a\neq0)$，$\therefore3[a(x + 1)+b]-2[a(x - 1)+b]=2x + 17$，即$ax+(5a + b)=2x + 17$，$\therefore\begin{cases}a = 2,\\5a + b = 17\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2,\\b = 7\end{cases}$.$\therefore f(x)$的解析式是$f(x)=2x + 7$.
(4)(解方程组法) $\because2f(x)+f(-x)=3x$， ① $\therefore$将$x$用$-x$替换，得$2f(-x)+f(x)= - 3x$， ② 由①②解得$f(x)=3x$.