《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 正、余弦定理
在$\triangle ABC$中，若内角$A$，$B$，$C$所对的边分别是$a$，$b$，$c$，$R$为$\triangle ABC$外接圆半径，则

答案： 1.$b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ $c^{2}+a^{2}-2ca\cos B$ $a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ac}$ $\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ac}$ $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ $\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ $\frac{2R\sin B}{2R\sin C}$ $\frac{\sin A}{\frac{b}{2R}}:\frac{\sin B}{\frac{b}{2}}:\frac{\sin C}{\frac{c}{2}}$

2. 在$\triangle ABC$中，已知$a$，$b$和$A$时，解的情况如下：

答案： 2.一解 两解 一解 一解 无解

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(×)
(2)在$\triangle ABC$中，若$\sin A ＞ \sin B$，则$A ＞ B$.(√)
(3)在$\triangle ABC$的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(×)
(4)当$b^{2}+c^{2}-a^{2}＞0$时，$\triangle ABC$为锐角三角形；当$b^{2}+c^{2}-a^{2}=0$时，$\triangle ABC$为直角三角形；当$b^{2}+c^{2}-a^{2}＜0$时，$\triangle ABC$为钝角三角形.(×)

答案： 1.
(1)×
(2)√
(3)×
(4)× [
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比。
(3)已知三角时，不可求三边。
(4)当$b^{2}+c^{2}-a^{2}＞0$时,$\bigtriangleup ABC$不一定为锐角三角形,仅确定A为锐角.]

2.(人教A必修二P48T2(2)改编)在$\triangle ABC$中，已知$b = 2$，$A = 45^{\circ}$，$C = 75^{\circ}$，则边$c =$$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}$.

答案： 2.$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}$ [$B=180^{\circ}-45^{\circ}-75^{\circ}=60^{\circ}$,由正弦定理,得$\frac{2}{\sin60^{\circ}}=\frac{c}{\sin75^{\circ}}$,得$c=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}$.]

3.(苏教必修二P93练习T1(3)改编)在$\triangle ABC$中，$AB = 5$，$AC = 3$，$BC = 7$，则$\angle BAC$等于$\frac{2\pi}{3}$.

答案： 3.$\frac{2\pi}{3}$ [在$\bigtriangleup ABC$中,$AB=5$,$AC=3$,$BC=7$,由余弦定理的推论得$\cos\angle BAC=\frac{AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}}{2AC\cdot AB}=\frac{9+25-49}{30}=-\frac{1}{2}$,因为$\angle BAC$为$\bigtriangleup ABC$的内角,所以$\angle BAC=\frac{2\pi}{3}$.]

4.(人教B必修四P5例3改编)已知$\triangle ABC$中，$b = 3\sqrt{6}$，$c = 6$，$B = 120^{\circ}$，则$\triangle ABC$的面积为$\frac{27-9\sqrt{3}}{2}$.

答案： 4.$\frac{27-9\sqrt{3}}{2}$ [由正弦定理,得$\sin C=\frac{c\sin B}{b}=\frac{6×\frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.由于$b＞c$,故$B＞C$,所以$C=45^{\circ}$,所以$A=180^{\circ}-120^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}$,$\sin15^{\circ}=\sin(60^{\circ}-45^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$,所以$\bigtriangleup ABC$的面积为$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}×3\sqrt{6}×6×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\frac{27-9\sqrt{3}}{2}$.]