《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 圆的定义和圆的方程

答案： 1.定长 $D^{2}+E^{2}-4F＞0$ $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$

2. 点与圆的位置关系
平面上的一点$M(x_0,y_0)$与圆$C:(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$之间存在着下列关系：
(1)$|MC| ＞ r \Leftrightarrow M$在圆外，即$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 ＞ r^2 \Leftrightarrow M$在圆外；
(2)$|MC| = r \Leftrightarrow M$在圆上，即$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2 \Leftrightarrow M$在圆上；
(3)$|MC| ＜ r \Leftrightarrow M$在圆内，即$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 ＜ r^2 \Leftrightarrow M$在圆内。

答案： 2.
(1)圆外
(2)圆上
(3)圆内

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)方程$x^2 + y^2 = a^2$表示半径为$a$，圆心为$(0,0)$的圆。(×)
(2)方程$x^2 + y^2 + 4mx - 2y = 0$一定表示圆。(√)
(3)若$(x_0,y_0)$满足$x_0^2 + y_0^2 + Dx_0 + Ey_0 + F ＞ 0$，则点$(x_0,y_0)$必在圆$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$内。(×)
(4)以$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$为直径端点的圆的方程为$(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$。(√)

答案： 1.
(1)×
(2)√
(3)×
(4)√ [
(1)当 $a=0$时，$x^{2}+y^{2}=0$ 表示点$(0,0)$；当 $a \neq 0$ 时，表示半径为$|a|$的圆.
(3)配方后，$\left(x_{0}+\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(y_{0}+\frac{E}{2}\right)^{2}＞$
$\frac{D^{2}+E^{2}-4F}{4}$
即 $\sqrt{\left(x_{0}+\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(y_{0}+\frac{E}{2}\right)^{2}}＞$
$\frac{\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$，点$(x_{0},y_{0})$在圆外.]

2.(北师大选修一 P44T2 原题)已知圆$C:2x^2 + 2y^2 + 4x - 2y - 1 = 0$，则圆心的坐标为$\left(-1,\frac{1}{2}\right)$，半径为$\frac{7}{2}$。

答案： 2.$\left(-1,\frac{1}{2}\right)$ $\frac{7}{2}$ [将圆的方程化为标准方程
$(x+1)^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}$，
则圆心为$\left(-1,\frac{1}{2}\right)$，半径$r=\frac{\sqrt{7}}{2}$.]

3.(人教 B 选修一 P110T4 改编)若坐标原点不在圆$x^2 + y^2 - ay + a - 1 = 0$的内部，则实数$a$的取值范围是$[1,2)\cup(2,+\infty)$。

答案： 3.$[1,2)\cup(2,+\infty)$ [将$(0,0)$代入方程，有$0^{2}+0^{2}-a\cdot0+a-1\geq0$，得$a\geq1$.
圆的方程可化为$x^{2}+\left(y-\frac{a}{2}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{4}-a+1$，
$\therefore\frac{a^{2}}{4}-a+1＞0$，$\therefore a\neq2$，
$\therefore$实数$a$的取值范围为$[1,2)\cup(2,+\infty)$.]

4.(人教 A 选修一 P85T3 改编)已知两点$A(4,9)$和$B(6,3)$，则以$AB$为直径的圆的标准方程是$(x-5)^{2}+(y-6)^{2}=10$。

答案： 4.$(x-5)^{2}+(y-6)^{2}=10$ [由题意得所求圆的圆心为线段$AB$的中点$\left(\frac{4+6}{2},\frac{3+9}{2}\right)$，即$(5,6)$，
半径为$\frac{|AB|}{2}=\frac{\sqrt{(6-4)^{2}+(3-9)^{2}}}{2}=\sqrt{10}$，
所以所求圆的标准方程为$(x-5)^{2}+(y-6)^{2}=10$.]