《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 思考辨析（在括号内打“√”或“×”）
(1)函数 $ y = 2 x ^ { \frac { 1 } { 3 } } $ 是幂函数。 （_）
(2)当 $ \alpha ＞ 0 $ 时，幂函数 $ y = x ^ { \alpha } $ 在 $ ( 0, + \infty ) $ 上是增函数。 （_）
(3)当 $ n $ 是偶数时，幂函数 $ y = x ^ { \frac { n } { m } } ( m, n \in \mathbf { Z }, $ 且 $ m $ 是奇数 ) 是偶函数。 （_）
(4)函数 $ y = x + \frac { m } { x } $ 的单调增区间是 $ ( - \infty, - \sqrt { m } ) $，$ ( \sqrt { m }, + \infty ) $。 （_）

答案： 1.
(1)×　
(2)√　
(3)√　
(4)×　[
(1)由于幂函数的解析式为$f(x)=x^{\alpha}$，故$y=2x^{\frac{1}{3}}$不是幂函数，故
(1)错误.
(4)只有$m＞0$时，$y=x+\frac{m}{x}$的单调增区间才是$(-\infty,-\sqrt{m}),(\sqrt{m},+\infty)$.]

2. 若幂函数 $ y = x ^ { - 1 } $，$ y = x ^ { m } $ 与 $ y = x ^ { n } $ 在第一象限内的图象如图所示，则 $ m $ 与 $ n $ 的取值情况为 （_）


A.$ - 1 ＜ m ＜ 0 ＜ n ＜ 1 $
B.$ - 1 ＜ n ＜ 0 ＜ m ＜ \frac { 1 } { 2 } $
C.$ - 1 ＜ m ＜ 0 ＜ n ＜ \frac { 1 } { 2 } $
D.$ - 1 ＜ n ＜ 0 ＜ m ＜ 1 $

答案： 2.D [对于幂函数$y=x^{\alpha}(\alpha\in R)$，当$\alpha＞0$时，$y=x^{\alpha}$在$(0,+\infty)$上单调递增，且当$0＜\alpha＜1$时，图象上凸，所以$0＜m＜1$.当$\alpha＜0$时，$y=x^{\alpha}$在$(0,+\infty)$上单调递减.不妨令$x=2$，由图象得$2^{-1}＜2^{n}$，则$-1＜n＜0$.综上可知，$-1＜n＜0＜m＜1$，故选D.]

3. (人教 A 必修一 P91 练习 T2(1)改编)比较大小：$ ( - 1.5 ) ^ { 3$＜$} $ _ $ ( - 1.4 ) ^ { 3 } $。

答案： 3.＜　[由于函数$y=x^{3}$在R上单调递增，且$-1.5＜-1.4$.故$(-1.5)^{3}＜(-1.4)^{3}$.]

4. 设 $ \max \{ a, b \} = \left\{ \begin{array} { l } { a, a \geqslant b, } \\ { b, a ＜ b, } \end{array}$0$\right. $ 则函数 $ f ( x ) = \max \{ x, x ^ { 2 } \} $ 的最小值为 _。

答案：
4.0　[作出$f(x)$的图象如图中所示的实线部分，由图可知$f(x)$的最小值为0.]