《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 函数的单调性与导数的关系

答案： 1.单调递增 单调递减 常数函数

2. 利用导数判断函数单调性的步骤
第 1 步，确定函数的 定义域；
第 2 步，求出导函数 $ f'(x) $ 的 零点；
第 3 步，用 $ f'(x) $ 的零点将 $ f(x) $ 的定义域划分为若干个区间，列表给出 $ f'(x) $ 在各区间上的正负，由此得出函数 $ y = f(x) $ 在定义域内的单调性.

答案： 2.定义域 零点

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数 $ f(x) $ 在 $(a, b)$ 内单调递增，那么一定有 $ f'(x) ＞ 0 $. (×)
(2)在 $(a, b)$ 内 $ f'(x) \leq 0 $ 且 $ f'(x) = 0 $ 的根为有限个，则 $ f(x) $ 在 $(a, b)$ 内单调递减. (√)
(3)若函数 $ f(x) $ 在定义域上都有 $ f'(x) ＞ 0 $，则 $ f(x) $ 在定义域上一定单调递增. (×)
(4)函数 $ f(x) = x - \sin x $ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数.(√)

答案： 1.
(1)×
(2)√
(3)×
(4)√ [
(1)f(x)在(a,b)内单调递增，则有$f^{\prime}(x)\geq0.$
(3)反例，$f(x)=-\frac{1}{x}，$虽然$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}}＞0，$
但$f(x)=-\frac{1}{x}$在其定义域$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$上不具有单调性.]

2.(人教 B 选修三 P95A 组 T1 改编)已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $[0, 2]$，且 $ y = f'(x) $ 的图象如图所示，则 $ f(x) $ 的单调递增区间是 (0,1)，单调递减区间是 (1,2).

答案： 2.(0,1) (1,2) [由图知，当$x\in(0,1)$时，$f^{\prime}(x)＞0，$当$x\in(1,2)$时，$f^{\prime}(x)＜0，$
故f(x)的单调递增区间是(0,1)，
单调递减区间是(1,2).]

3.(人教 A 选修二 P101 习题 T3 改编)函数 $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x $ 的单调递增区间是 (-\infty,-2),(\frac{2}{3},+\infty).

答案： $3.(-\infty,-2),(\frac{2}{3},+\infty) [$由$f^{\prime}(x)=3x^{2}+$
4x - 4=(3x - 2)(x + 2)＞0，
得x＜-2或x＞$\frac{2}{3}，$故f(x)的单调递增区间
为$(-\infty,-2),(\frac{2}{3},+\infty).]$

4.(苏教选修一 P213 例 2 改编)若函数 $ f(x) = x^3 + ax^2 - ax $ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，则实数 $ a $ 的取值范围是 [-3,0].

答案： $4.[-3,0] [f^{\prime}(x)=3x^{2}+2ax - a\geq0$在R上恒
成立，所以$4a^{2}+12a\leq0，$解得$-3\leq a\leq0.]$

例 1(1)设函数 $ f(x) $ 在定义域内可导，$ f(x) $ 的图象如图所示，则其导函数 $ f'(x) $ 的图象可能是 (A)


A.
B.
C.
D.

答案： 例1
(1)A [
(1)由f(x)的图象可知，当
$x\in(-\infty,0)$时，函数f(x)单调递增，
则$f^{\prime}(x)\geq0，$故排除C,D；
当$x\in(0,+\infty)$时，函数f(x)先单调递减、再
单调递增最后单调递减，
则导函数值$f^{\prime}(x)$应先小于0，再大于0，最后
小于0，故排除B，选A.]