《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) $\frac{x - a}{x - b} \geq 0$等价于$(x - a)(x - b) \geq 0$。(×)
(2) 若不等式$ax^{2} + bx + c ＜ 0$的解集为$(x_{1}, x_{2})$，则必有$a ＞ 0$。(√)
(3) 不等式$x^{2} \leq a$的解集为$[-\sqrt{a}, \sqrt{a}]$。(×)
(4) 若方程$ax^{2} + bx + c = 0(a ＜ 0)$没有实数根，则不等式$ax^{2} + bx + c ＞ 0(a ＜ 0)$的解集为$\mathbf{R}$。(×)

答案： 1.
(1)$×$
(2)$\surd$
(3)$×$
(4)$×$
[
(1)错误.$\frac{x-a}{x-b}\geq0$等价于$(x-a)(x-b)\geq0$且$x\neq b$.
(3)错误.当$a=0$时，其解集为$\{0\}$;当$a＜0$时，其解集为$\varnothing$.
(4)若方程$ax^2+bx+c=0(a＜0)$没有实根，则不等式$ax^2+bx+c＞0(a＜0)$的解集为$\varnothing$.]

2. (人教 A 必修一 P53 练习 T1 改编)不等式$-2x^{2} + x \leq -3$的解集为$(-\infty,-1]\cup[\frac{3}{2},+\infty)$。

答案： 2.$(-\infty,-1]\cup[\frac{3}{2},+\infty)$ [由$-2x^2+x\leq-3$可得$2x^2-x-3\geq0$,
即$(2x-3)(x+1)\geq0$,得$x\leq-1$或$x\geq\frac{3}{2}$,
故不等式的解集为$(-\infty,-1]\cup[\frac{3}{2},+\infty)$.]

3. (北师大必修一 P41T1 改编)若不等式$x^{2} + ax + b ＞ 0$的解集为$(-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$，则$a + b =$$-3$。

答案： 3.$-3$ [由题意可得$-a=-1+2,b=(-1)×2$,
即$a=-1,b=-2$,故$a+b=-3$.]

4. (苏教必修一 P69T11(2)改编)若一元二次不等式$2kx^{2} + kx - \frac{3}{8} ＜ 0$对一切实数$x$都成立，则实数$k$的取值范围是$(-3,0)$。

答案： 4.$(-3,0)$ [由题意知$\begin{cases}k＜0,\\\Delta=k^2 -4×2k×(-\frac{3}{8})＜0,\end{cases}$
解得$-3＜k＜0$.]

考点一 三个二次之间的关系
例 1(多选)已知关于$x$的不等式$ax^{2} + bx + c ＞ 0$的解集为$(-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$，则(ACD)

A.$a ＞ 0$
B.$a + b + c ＞ 0$
C.不等式$bx + c ＞ 0$的解集是$\{x \mid x ＜ -6\}$
D.不等式$cx^{2} - bx + a ＜ 0$的解集为$(-\infty, -\frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$

答案： 例1 ACD [$\because$关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为$(-\infty,-2)\cup(3,+\infty)$,
$\therefore a＞0$,A正确;
$-2$和$3$是关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的两根,由根与系数的关系得$\begin{cases}-2+3=\frac{b}{a},\\-2×3=\frac{c}{a},\end{cases}$
则$\begin{cases}b=-a,\\c=-6a,\end{cases}$ $\therefore a+b+c=-6a＜0$,B错误;
不等式$bx+c＞0$可化为$-ax-6a＞0$,得$x＜-6$,C正确;
不等式$cx^2-bx+a＜0$可化为$-6ax^2+ax+a＜0$,即$6x^2-x-1＞0$,
解得$x＜-\frac{1}{3}$或$x＞\frac{1}{2}$,D正确.故选ACD.]

已知关于$x$的不等式$a(x + 1) \cdot (x - 3) + 1 ＞ 0(a \neq 0)$的解集是$(x_{1}, x_{2})(x_{1} ＜ x_{2})$，则下列结论正确的是(ABD)

A.$x_{1} + x_{2} = 2$
B.$x_{1}x_{2} ＜ -3$
C.$-1 ＜ x_{1} ＜ x_{2} ＜ 3$
D.$x_{2} - x_{1} ＞ 4$

答案： 训练1 ABD [由题意得,$a＜0$,且$x_1,x_2$是一元二次方程$a(x+1)(x-3)+1=0$,
即$ax^2-2ax+1-3a=0$的两根,
所以$x_1+x_2=-\frac{-2a}{a}=2$,故A正确;
$x_1x_2=\frac{1-3a}{a}=-3-\frac{1}{a}＜-3$,故B正确;
$x_2-x_1=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$
$=\sqrt{4-4×\frac{1-3a}{a}}=2\sqrt{4-\frac{1}{a}}＞4$,
故D正确;
由$x_2-x_1＞4$,可得$-1＜x_1＜x_2＜3$是错误的,故C错误.]

考点二 不等式的解法
例 2(1)(多选)下列选项中，正确的是(ABD)

A.不等式$x^{2} + x - 2 ＞ 0$的解集为$\{x \mid x ＜ -2$或$x ＞ 1\}$
B.不等式$\frac{2x + 1}{x - 2} \leq 1$的解集为$\{x \mid -3 \leq x ＜ 2\}$
C.不等式$\vert x - 2\vert \geq 1$的解集为$\{x \mid 1 \leq x \leq 3\}$
D.设$x \in \mathbf{R}$，则“$\vert x - 1\vert ＜ 1$”是“$\frac{x + 4}{x - 5} ＜ 0$”的充分不必要条件

答案： 例2
(1)ABD [因为方程$x^2+x-2=0$的解为$x_1=1,x_2=-2$,
所以不等式$x^2+x-2＞0$的解集为$\{x|x＜-2$或$x＞1\}$,故A正确;
因为$\frac{2x+1}{x-2}-1\leq0$,即$\frac{x+3}{x-2}\leq0$,
即$(x+3)(x-2)\leq0(x-2\neq0)$,
解得$-3\leq x＜2$,所以不等式的解集为$\{x|-3\leq x＜2\}$,故B正确;
由$|x-2|\geq1$,可得$x-2\leq-1$或$x-2\geq1$,
解得$x\leq1$或$x\geq3$,所以不等式的解集为$\{x|x\leq1$或$x\geq3\}$,故C错误;
由$|x-1|＜1$,可得$-1＜x-1＜1$,
解得$0＜x＜2$,由$\frac{x+4}{x-5}＜0$,可得$-4＜x＜5$,
因此,“$|x-1|＜1$”是“$\frac{x+4}{x-5}＜0$”的充分不必要条件,故D正确.]

（2）解关于$x$的不等式$ax^{2} - (a + 1)x + 1 ＜ 0$ $(a \in \mathbf{R})$。解 原不等式变为$(ax-1)(x-1)＜0$,
①当$a＞0$时,原不等式可化为$(x-\frac{1}{a})(x-1)＜0$,所以当$a＞1$时,解得$\frac{1}{a}＜x＜1$;
当$a=1$时,解集为$\varnothing$;
当$0＜a＜1$时,解得$1＜x＜\frac{1}{a}$.
②当$a=0$时,原不等式等价于$-x+1＜0$,即$x＞1$.
③当$a＜0$时,$\frac{1}{a}＜1$,原不等式可化为$(x-\frac{1}{a})(x-1)＞0$,解得$x＞1$或$x＜\frac{1}{a}$.
综上,当$0＜a＜1$时,不等式的解集为$\{x|1＜x＜\frac{1}{a}\}$;
当$a＞1$时,不等式的解集为$\{x|\frac{1}{a}＜x＜1\}$;
当$a=0$时,不等式的解集为$\{x|x＞1\}$;
当$a＜0$时,不等式的解集为$\{x|x＜\frac{1}{a}$,或$x＞1\}$.

答案： （2）解关于$x$的不等式$ax^{2} - (a + 1)x + 1 ＜ 0$ $(a \in \mathbf{R})$。解 原不等式变为$(ax-1)(x-1)＜0$,
①当$a＞0$时,原不等式可化为$(x-\frac{1}{a})(x-1)＜0$,所以当$a＞1$时,解得$\frac{1}{a}＜x＜1$;
当$a=1$时,解集为$\varnothing$;
当$0＜a＜1$时,解得$1＜x＜\frac{1}{a}$.
②当$a=0$时,原不等式等价于$-x+1＜0$,即$x＞1$.
③当$a＜0$时,$\frac{1}{a}＜1$,原不等式可化为$(x-\frac{1}{a})(x-1)＞0$,解得$x＞1$或$x＜\frac{1}{a}$.
综上,当$0＜a＜1$时,不等式的解集为$\{x|1＜x＜\frac{1}{a}\}$;
当$a＞1$时,不等式的解集为$\{x|\frac{1}{a}＜x＜1\}$;
当$a=0$时,不等式的解集为$\{x|x＞1\}$;
当$a＜0$时,不等式的解集为$\{x|x＜\frac{1}{a}$,或$x＞1\}$.