《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

(1) 不等式$\vert x\vert(1 - 2x) ＞ 0$的解集是(D)

A.$(-\infty, \frac{1}{2})$
B.$(0, \frac{1}{2})$
C.$(-\infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$
D.$(-\infty, 0) \cup (0, \frac{1}{2})$

答案： 训练2
(1)D [原不等式等价于$\begin{cases}x\neq0,\\1-2x＞0,\end{cases}$
即$x＜\frac{1}{2}$且$x\neq0$,故选D.]

(2) 解关于$x$的不等式$x^{2} - ax + 1$解 当$\Delta=a^2-4\leq0$,即$-2\leq a\leq2$时,原不等式的解集为$\varnothing$,
当$\Delta=a^2-4＞0$,即$a＞2$或$a＜-2$时,
方程$x^2-ax+1=0$的两根为$x_1=\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2},x_2=\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}$
原不等式的解集为$\{x|\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}＜x＜\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}\}$
综上可知,当$-2\leq a\leq2$时,原不等式的解集为$\varnothing$,
当$a＞2$或$a＜-2$时,原不等式的解集为$\{x|\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}＜x＜\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}\}$.$＜ 0$，$a \in \mathbf{R}$。

答案：
(2) 解关于$x$的不等式$x^{2} - ax + 1＜ 0$，$a \in \mathbf{R}$。解 当$\Delta=a^2-4\leq0$,即$-2\leq a\leq2$时,原不等式的解集为$\varnothing$,
当$\Delta=a^2-4＞0$,即$a＞2$或$a＜-2$时,
方程$x^2-ax+1=0$的两根为$x_1=\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2},x_2=\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}$
原不等式的解集为$\{x|\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}＜x＜\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}\}$
综上可知,当$-2\leq a\leq2$时,原不等式的解集为$\varnothing$,
当$a＞2$或$a＜-2$时,原不等式的解集为$\{x|\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}＜x＜\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}\}$.

考点三 一元二次不等式恒成立问题
角度 1 在实数集$\mathbf{R}$上恒成立
例 3(多选)对任意实数$x$，不等式$2kx^{2} + kx - 3 ＜ 0$恒成立，则实数$k$可以是(ACD)

A.$0$
B.$-24$
C.$-20$
D.$-2$

答案： 例3 ACD [当$k=0$时,不等式即为$-3＜0$,不等式恒成立;
当$k\neq0$时,若不等式恒成立,
则$\begin{cases}k＜0,\\\Delta=k^2+24k＜0,\end{cases}$
于是$-24＜k＜0$,故选ACD.]

角度 2 在给定区间上恒成立
例 4(2025·铁岭协作校调研)已知$\forall x \in [1, 2]$，$\forall y \in [2, 3]$，$y^{2} - xy - mx^{2} \leq 0$，则实数$m$的取值范围是(C)

A.$[4, +\infty)$
B.$[0, +\infty)$
C.$[6, +\infty)$
D.$[8, +\infty)$

答案： 例4 [因为$x\in[1,2],y\in[2,3]$,
则$\frac{1}{x}\in[\frac{1}{2},1]$,所以$\frac{y}{x}\in[1,3]$,
又$y^2-xy-mx^2\leq0$,可得$m\geq(\frac{y}{x})^2-\frac{y}{x}$,
令$t=\frac{y}{x}\in[1,3]$,则$\forall t\in[1,3],m\geq t^2-t$,即
只需$m\geq(t^2-t)_{\max},t^2-t=(t-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$,
当$t=3$时,$t^2-t$取到最大值,$t^2-t_{\max}=9-3=6$,所以实数$m$的取值范围是$[6,+\infty)$.故选C.]

角度 3 给定参数范围的恒成立
例 5(2024·杭州调研)若不等式$x^{2} + px ＞ 4x + p - 3$，当$0 \leq p \leq 4$时恒成立，则$x$的取值范围是(D)

A.$[-1, 3]$
B.$(-\infty, -1]$
C.$[3, +\infty)$
D.$(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$

答案： 例5 [不等式$x^2+px＞4x+p-3$,
可化为$(x-1)p+x^2-4x+3＞0$,
由已知可得$(x-1)p+x^2-4x+3＞0(0\leq p\leq4)$,
令$f(p)=(x-1)p+x^2-4x+3(0\leq p\leq4)$,
可得$\begin{cases}f(0)=x^2-4x+3＞0,\\f(4)=4(x-1)+x^2-4x+3＞0,\end{cases}$
解得$x＜-1$或$x＞3$.]

已知关于$x$的不等式$2x - 1 ＞ m(x^{2} - 1)$。
(1) 是否存在实数$m$，使不等式对任意$x \in \mathbf{R}$恒成立，并说明理由；
(2) 若不等式对于$x \in (1, +\infty)$恒成立，求$m$的取值范围；
(3) 若不等式对于$m \in [-2, 2]$恒成立，求实数$x$的取值范围。解 (1)原不等式等价于$mx^2-2x+(1-m)＜0$,
当$m=0$时,$-2x+1＜0$不恒成立;
当$m\neq0$时,若不等式对于任意实数$x$恒成立,
则需$m＜0$且$\Delta=4-4m(1-m)＜0$,无解,
所以不存在实数$m$,使不等式恒成立.(2)因为$x＞1$,所以$m＜\frac{2x-1}{x^2-1}$.
设$2x-1=t(t＞1),x^2-1=\frac{t^2+2t-3}{4}$.
所以$m＜\frac{4t}{t^2+2t-3}=\frac{4}{t-\frac{3}{t}+2}$
设$g(t)=t-\frac{3}{t}+2,t\in(1,+\infty)$,
显然$g(t)$在$(1,+\infty)$上单调递增.
当$t\to+\infty$时,
$t-\frac{3}{t}+2\to+\infty,\frac{4}{t-\frac{3}{t}+2}\to0$,
所以$m\leq0$.所以$m$的取值范围是$(-\infty,0]$.(3)设$f(m)=(x^2-1)m-(2x-1)$,
当$m\in[-2,2]$时,$f(m)＜0$恒成立.
当且仅当$\begin{cases}f(2)＜0,\\f(-2)＜0,\end{cases}$
即$\begin{cases}2x^2-2x-1＜0,\\-2x^2-2x+3＜0.\end{cases}$
由①得$\frac{1-\sqrt{3}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$.
由②得$x＜\frac{-1-\sqrt{7}}{2}$或$x＞\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$
取交集,得$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
所以$x$的取值范围是
$\{x|\frac{-1+\sqrt{7}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}\}$

答案： 训练3 解
(1)原不等式等价于$mx^2-2x+(1-m)＜0$,
当$m=0$时,$-2x+1＜0$不恒成立;
当$m\neq0$时,若不等式对于任意实数$x$恒成立,
则需$m＜0$且$\Delta=4-4m(1-m)＜0$,无解,
所以不存在实数$m$,使不等式恒成立.
(2)因为$x＞1$,所以$m＜\frac{2x-1}{x^2-1}$.
设$2x-1=t(t＞1),x^2-1=\frac{t^2+2t-3}{4}$.
所以$m＜\frac{4t}{t^2+2t-3}=\frac{4}{t-\frac{3}{t}+2}$
设$g(t)=t-\frac{3}{t}+2,t\in(1,+\infty)$,
显然$g(t)$在$(1,+\infty)$上单调递增.
当$t\to+\infty$时,
$t-\frac{3}{t}+2\to+\infty,\frac{4}{t-\frac{3}{t}+2}\to0$,
所以$m\leq0$.所以$m$的取值范围是$(-\infty,0]$.
(3)设$f(m)=(x^2-1)m-(2x-1)$,
当$m\in[-2,2]$时,$f(m)＜0$恒成立.
当且仅当$\begin{cases}f(2)＜0,\\f(-2)＜0,\end{cases}$
即$\begin{cases}2x^2-2x-1＜0,\\-2x^2-2x+3＜0.\end{cases}$
由①得$\frac{1-\sqrt{3}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$.
由②得$x＜\frac{-1-\sqrt{7}}{2}$或$x＞\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$
取交集,得$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
所以$x$的取值范围是
$\{x|\frac{-1+\sqrt{7}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}\}$