《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 函数的奇偶性

答案： 1.$f(-x)=f(x)$　y轴　$f(-x)=-f(x)$　原点

2. 周期性
(1) 周期函数：一般地，设函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ D $，如果存在一个非零常数 $ T $，使得对每一个 $ x \in D $ 都有 $ x + T \in D $，且$f(x+T)=f(x)$，那么函数 $ y = f(x) $ 就叫做周期函数，非零常数 $ T $ 叫做这个函数的周期.
(2) 最小正周期：如果在周期函数 $ f(x) $ 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做函数$ f(x) $ 的最小正周期.

答案： 2.
(1)$f(x+T)=f(x)$　
(2)最小　最小正数

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) 函数 $ y = x^2 $ 在 $ x \in (0, +\infty) $ 上是偶函数. (×)
(2) 若函数 $ f(x) $ 为奇函数，则一定有 $ f(0) = 0 $. (×)
(3) 若 $ T $ 是函数 $ f(x) $ 的一个周期，且 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，则 $ nT(n \in \mathbf{Z}, n \neq 0) $ 也是函数 $ f(x) $ 的周期. (√)
(4) 对于函数 $ y = f(x) $，若存在 $ x $，使 $ f(-x) = -f(x) $，则函数 $ y = f(x) $ 一定是奇函数. (×)

答案： 1.
(1)×　
(2)×　
(3)√　
(4)×　[
(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故$y = x^{2}$在$(0, + \infty)$上不具有奇偶性，
(1)错误。
(2)由奇函数定义可知，若$f(x)$为奇函数，且在$x = 0$处有意义时才满足$f(0)=0$，
(2)错误。
(4)反例：$f(x)=x^{3},x\in[-3,5]$，存在$x = 1$，使$f(-1)=-f(1)$，但$f(x)$既不是奇函数，也不是偶函数，
(4)错误。]

2. (苏教必修一 P124 例 1 改编)(多选)给出下列函数，其中是奇函数的有 (BC)

A.$ f(x) = x^4 $
B.$ f(x) = x^5 $
C.$ f(x) = x + \frac{1}{x} $
D.$ f(x) = \frac{1}{x^2} $

答案： 2.BC [对于$f(x)=x^{4}$，$f(x)$的定义域为R，由$f(-x)=(-x)^{4}=x^{4}=f(x)$，可知$f(x)=x^{4}$是偶函数。
同理可知$f(x)=x^{5}$，$f(x)=x+\frac{1}{x}$是奇函数，$f(x)=\frac{1}{x^{2}}$是偶函数。]

3. （人教 A 必修一 P85 练习 T1 改编）设奇函数 $ f(x) $ 的定义域为 $[-5,5]$，若当 $ x \in [0,5] $ 时，$ f(x) $ 的图象如图所示，则不等式 $ f(x) ＜ 0 $ 的解集为.
，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为.]$(-2,0)\cup(2,5]$

答案： 3.$(-2,0)\cup(2,5]$ [由图象可知，当$0＜x＜2$时，$f(x)＞0$；当$2＜x\leq5$时，$f(x)＜0$，又$f(x)$是奇函数，$\therefore$当$-2＜x＜0$时，$f(x)＜0$，当$-5\leq x＜-2$时，$f(x)＞0$。
综上，$f(x)＜0$的解集为$(-2,0)\cup(2,5]$。]

4. 已知函数 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的周期为 4 的奇函数，若 $ f(-1) = 1 $，则 $ f(2025) =$-1$$.

答案： 4.-1 [因为函数$f(x)$是定义在R上的周期为4的奇函数，所以$f(2025)=f(506×4 + 1)=f(1)=-f(-1)=-1$。]