《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例 2 (2025·成都诊断)已知点$P$是直线$l:y = - 2$上一个动点，过点$P$作轨迹$E:x^{2}=8y$的两条切线，焦点为$F$，切点分别为$A$，$B$。
求证：(1)直线$AB$过定点；
(2)$\angle PFA=\angle PFB$。证明 (1)由$x^{2} = 8y$得$y = \frac{1}{8}x^{2}$，$\therefore y' = \frac{1}{4}x$。设$A(x_{1},\frac{1}{8}x_{1}^{2})$，$B(x_{2},\frac{1}{8}x_{2}^{2})$，$P(t, - 2)$，其中$x_{1} \neq x_{2}$。则切线$PA$的方程为$y - \frac{1}{8}x_{1}^{2} = \frac{x_{1}}{4}(x - x_{1})$，即$y = \frac{1}{4}x_{1}x - \frac{1}{8}x_{1}^{2}$。同理，切线$PB$的方程为$y = \frac{1}{4}x_{2}x - \frac{1}{8}x_{2}^{2}$。由$\begin{cases}y = \frac{1}{4}x_{1}x - \frac{1}{8}x_{1}^{2}\\y = \frac{1}{4}x_{2}x - \frac{1}{8}x_{2}^{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}\\y = \frac{x_{1}x_{2}}{8}\end{cases}$。$\therefore t = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$，即$\begin{cases}x_{1} + x_{2} = 2t\\x_{1}x_{2} = - 16\end{cases}$。$\therefore$直线$AB$的方程为$y - \frac{1}{8}x_{1}^{2} = \frac{\frac{1}{8}(x_{2}^{2} - x_{1}^{2})}{x_{2} - x_{1}}(x - x_{1})$，化简得$y = \frac{x_{1} + x_{2}}{8}x - \frac{x_{1}x_{2}}{8}$，即$y = \frac{t}{4}x + 2$。故直线$AB$过定点$(0,2)$。(2)由(1)知直线$AB$的斜率为$k_{AB} = \frac{t}{4}$。①当直线$PF$的斜率不存在时，直线$AB$的方程为$y = 2$，$\therefore PF\bot AB$，$\therefore\angle PFA = \angle PFB$。②当直线$PF$的斜率存在时，$\because P(t, - 2)$，$F(0,2)$，$\therefore$直线$PF$的斜率$k_{PF} = \frac{- 2 - 2}{t - 0} = - \frac{4}{t}$。$\therefore k_{AB} \cdot k_{PF} = \frac{t}{4} \cdot ( - \frac{4}{t}) = - 1$，$\therefore PF\bot AB$，$\therefore\angle PFA = \angle PFB$。综上所述，$\angle PFA = \angle PFB$得证。

答案： 例2 证明
(1)由$x^{2} = 8y$得$y = \frac{1}{8}x^{2}$，$\therefore y' = \frac{1}{4}x$。设$A(x_{1},\frac{1}{8}x_{1}^{2})$，$B(x_{2},\frac{1}{8}x_{2}^{2})$，$P(t, - 2)$，其中$x_{1} \neq x_{2}$。则切线$PA$的方程为$y - \frac{1}{8}x_{1}^{2} = \frac{x_{1}}{4}(x - x_{1})$，即$y = \frac{1}{4}x_{1}x - \frac{1}{8}x_{1}^{2}$。同理，切线$PB$的方程为$y = \frac{1}{4}x_{2}x - \frac{1}{8}x_{2}^{2}$。由$\begin{cases}y = \frac{1}{4}x_{1}x - \frac{1}{8}x_{1}^{2}\\y = \frac{1}{4}x_{2}x - \frac{1}{8}x_{2}^{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}\\y = \frac{x_{1}x_{2}}{8}\end{cases}$。$\therefore t = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$，即$\begin{cases}x_{1} + x_{2} = 2t\\x_{1}x_{2} = - 16\end{cases}$。$\therefore$直线$AB$的方程为$y - \frac{1}{8}x_{1}^{2} = \frac{\frac{1}{8}(x_{2}^{2} - x_{1}^{2})}{x_{2} - x_{1}}(x - x_{1})$，化简得$y = \frac{x_{1} + x_{2}}{8}x - \frac{x_{1}x_{2}}{8}$，即$y = \frac{t}{4}x + 2$。故直线$AB$过定点$(0,2)$。
(2)由
(1)知直线$AB$的斜率为$k_{AB} = \frac{t}{4}$。①当直线$PF$的斜率不存在时，直线$AB$的方程为$y = 2$，$\therefore PF\bot AB$，$\therefore\angle PFA = \angle PFB$。②当直线$PF$的斜率存在时，$\because P(t, - 2)$，$F(0,2)$，$\therefore$直线$PF$的斜率$k_{PF} = \frac{- 2 - 2}{t - 0} = - \frac{4}{t}$。$\therefore k_{AB} \cdot k_{PF} = \frac{t}{4} \cdot ( - \frac{4}{t}) = - 1$，$\therefore PF\bot AB$，$\therefore\angle PFA = \angle PFB$。综上所述，$\angle PFA = \angle PFB$得证。

训练 2 (1)过点$M(0,-4)$作圆$C:x^{2}+y^{2}+2x - 6y + 6 = 0$的两条切线，切点分别为$A$，$B$，则直线$AB$的方程为(B)
A. $2x - y + 3 = 0$
B. $x - 7y + 18 = 0$
C. $2x - 5y + 5 = 0$
D. $x + 5y + 5 = 0$

答案： 训练2
(1)B [
(1)根据题意，可知圆$x^{2} + y^{2} + 2x - 6y + 6 = 0$的圆心为$C( - 1,3)$，半径$r = 2$，过点$M(0, - 4)$作圆$x^{2} + y^{2} + 2x - 6y + 6 = 0$的两条切线，设切点分别为$A$，$B$。而$|MC| = \sqrt{1^{2} + 7^{2}} = 5\sqrt{2}$，则$|MA| = \sqrt{|MC|^{2} - 4} = \sqrt{46}$。则以$M$为圆心，$MA$为半径的圆为$x^{2} + (y + 4)^{2} = 46$，即圆$x^{2} + y^{2} + 8y - 30 = 0$。所以$AB$为两圆的公共弦所在的直线，则有$\begin{cases}x^{2} + y^{2} + 2x - 6y + 6 = 0\\x^{2} + y^{2} + 8y - 30 = 0\end{cases}$，作差变形可得$x - 7y + 18 = 0$，即直线$AB$的方程为$x - 7y + 18 = 0$。

(2)(2025·杭州调研)已知$F$为椭圆$C:\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$的右焦点，点$A$是直线$x = 3$上的动点，过点$A$作椭圆$C$的切线$AM$，$AN$，切点分别为$M$，$N$，则$|MF|+|NF|-|MN|$的值为(D)

A.$3$
B.$2$
C.$1$
D.$0$

答案： 训练2
(2)D [
(2)由已知可得$F(1,0)$，设$M(x_{1},y_{1})$，$N(x_{2},y_{2})$，$A(3,t)$。则切线$AM$，$AN$的方程分别为$\frac{x_{1}x}{3} + \frac{y_{1}y}{2} = 1$，$\frac{x_{2}x}{3} + \frac{y_{2}y}{2} = 1$。因为切线$AM$，$AN$过点$A(3,t)$，所以$x_{1} + \frac{ty_{1}}{2} = 1$，$x_{2} + \frac{ty_{2}}{2} = 1$。所以直线$MN$的方程为$x + \frac{ty}{2} = 1$，因为$F(1,0)$，所以$1 + \frac{t × 0}{2} = 1$，所以点$F(1,0)$在直线$MN$上，所以$M$，$N$，$F$三点共线，所以$|MF| + |NF| - |MN| = 0$。

例 3 (1)(2025·南昌质检)如图所示，椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光经过椭圆的另一个焦点。已知曲线$C:x^{2}+4y^{2}=4$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，直线$l$与椭圆$C$相切于点$P$，且$|PF_{1}| = 1$，过点$P$与直线$l$垂直的直线$l'$与椭圆的长轴交于点$M$，则$|F_{1}M|:|F_{2}M|=$(C)


A.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
B.$1:\sqrt{2}$
C.$1:3$
D.$1:\sqrt{3}$

答案： 例3
(1)C [
(1)如题图，由椭圆的定义，$|PF_{1}| + |PF_{2}| = 4$，又$|PF_{1}| = 1$，所以$|PF_{2}| = 3$。根据椭圆的光学性质，$PM$是$\angle F_{1}PF_{2}$的平分线，所以$\frac{|F_{1}M|}{|F_{2}M|} = \frac{|PF_{1}|}{|PF_{2}|} = \frac{1}{3}$。

(2)(2025·青岛调研)双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点。已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，从$F_{2}$发出的光线射向$C$上的点$P(8,y_{0})$后被反射，则入射光线与反射光线的夹角余弦值是________。

答案：
例3
(2)$\frac{11}{14}$ [
(2)如图，$F_{1}( - 5,0)$，$F_{2}(5,0)$，将$P(8,y_{0})$代入$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$可得$y_{0} = \pm 3\sqrt{3}$，不妨设$P(8,3\sqrt{3})$。则$|PF_{1}| = \sqrt{( - 5 - 8)^{2} + (0 - 3\sqrt{3})^{2}} = 14$，由双曲线定义，$|PF_{1}| - |PF_{2}| = 8$，所以$|PF_{2}| = |PF_{1}| - 8 = 6$，显然$|F_{1}F_{2}| = 10$。所以$\cos\angle F_{1}PF_{2} = \frac{|PF_{1}|^{2} + |PF_{2}|^{2} - |F_{1}F_{2}|^{2}}{2|PF_{1}| \cdot |PF_{2}|} = \frac{11}{14}$，由题意，反射光线所在的直线即为直线$PF_{1}$，所以入射光线与反射光线的夹角余弦值是$\frac{11}{14}$。

训练 3 (1)(2025·石家庄调研)双曲线有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点。已知双曲线$C:x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，从$F_{2}$发出的光线$F_{2}P$被双曲线反射后，反射光线为$PE$，若双曲线$C$在点$P$处的切线交$x$轴于点$I$，且$|IF_{1}|=\frac{5}{2}$，则$\triangle PF_{1}F_{2}$的周长为12。

答案： 训练3
(1)12 [
(1)如图，由双曲线的光学性质可得$PI$是$\angle F_{1}PF_{2}$的平分线，所以$\frac{|PF_{1}|}{|PF_{2}|} = \frac{|IF_{1}|}{|IF_{2}|}$。由题意，$|F_{1}F_{2}| = 4$，$|IF_{1}| = \frac{5}{2}$，所以$|IF_{2}| = \frac{3}{2}$，从而$\frac{|PF_{1}|}{|PF_{2}|} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{5}{3}$。又由双曲线定义，$|PF_{1}| - |PF_{2}| = 2$，所以$|PF_{2}| = 3$，$|PF_{1}| = 5$，从而$\triangle PF_{1}F_{2}$的周长为$5 + 3 + 4 = 12$。

(2)抛物线有如下光学性质：从抛物线的焦点$F$发出的光线，经抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线。若一条平行于$x$轴的光线从$M(3,1)$射出，经抛物线$y^{2}=4x$上的点$A$反射后，再经抛物线上的另一点$B$反射出，则直线$AB$的斜率为 - \frac{4}{3}。

答案：
训练3
(2)$ - \frac{4}{3}$ [
(2)如图，由题意知，$A$，$F$，$B$三点共线，由$\begin{cases}y = 1\\y^{2} = 4x\end{cases}$得$x = \frac{1}{4}$，得$A(\frac{1}{4},1)$，又$F(1,0)$，所以直线$AB$的斜率$k_{AB} = k_{AF} = \frac{1 - 0}{\frac{1}{4} - 1} = - \frac{4}{3}$。