《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 两个实数比较大小的方法
(1) 作差法

答案： $1.(1)\gt = \lt (2)\gt = \lt$

2. 不等式的性质
(1) 对称性：$a ＞ b \Leftrightarrow b ＜ a$；
(2) 传递性：$a ＞ b$，$b ＞ c \Rightarrow a ＞ c$；
(3) 同向可加性：$a ＞ b \Leftrightarrow a + c $＞$ b + c$；$a ＞ b$，$c ＞ d \Rightarrow a + c $＞$ b + d$；
(4) 可乘性：$a ＞ b$，$c ＞ 0 \Rightarrow ac $＞$ bc$；$a ＞ b$，$c ＜ 0 \Rightarrow ac ＜ bc$；$a ＞ b ＞ 0$，$c ＞ d ＞ 0 \Rightarrow ac $＞$ bd$；
(5) 可乘方性：$a ＞ b ＞ 0 \Rightarrow a^n $＜$ b^n (n \in \mathbf{N}, n \geq 1)$；
(6) 可开方性：$a ＞ b ＞ 0 \Rightarrow \sqrt[n]{a} $＞$ \sqrt[n]{b} (n \in \mathbf{N}, n \geq 2)$。

答案： $2.(3)\gt \gt (4)\gt \gt (5)\lt (6)\gt$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) $a ＞ b \Leftrightarrow ac^3 ＞ bc^3$. (×)
(2) $a = b \Leftrightarrow ac = bc$. (×)
(3) 若 $\frac{a}{b} ＞ 1$，则 $a ＞ b$. (×)
(4) $a ＜ x ＜ b ＜ 0 \Rightarrow \frac{1}{b} ＜ \frac{1}{x} ＜ \frac{1}{a}$. (√)

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√
[（1）由不等式的性质，$ac^{3} \gt bc^{3} \not\Rightarrow a \gt b$；
反之，$c \leq 0$时，$a \gt b \not\Rightarrow ac^{3} \gt bc^{3}$.
（2）由等式的性质，$a = b \Rightarrow ac = bc$；
反之，$c = 0$时，$ac = bc \not\Rightarrow a = b$.
（3）$a = - 3,b = - 1$，则$\frac{a}{b} \gt 1$，但$a \lt b$.]

2. (人教 A 必修一 P43T8 改编)(多选)下列命题为真命题的是 (ABD)

A.若 $ac^2 ＞ bc^2$，则 $a ＞ b$
B.若 $a ＞ b ＞ 0$，则 $a^2 ＞ b^2$
C.若 $a ＜ b ＜ 0$，则 $a^2 ＜ ab ＜ b^2$
D.若 $a ＜ b ＜ 0$，则 $\frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b}$

答案： 2.ABD [C中，若$a = - 2,b = - 1$，
则$a^{2} \gt ab \gt b^{2}$，故C错误.其余均为真命题.]

3. (苏教必修一 P53 例 3 改编) 设 $M = x^2 + y^2 + 1$，$N = 2(x + y - 1)$，则 $M$ 与 $N$ 的大小关系为 M ＞ N.

答案： 3.$M \gt N$ [$M - N = x^{2} + y^{2} + 1 - 2x - 2y + 2$
$=(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + 1 \gt 0$.故$M \gt N$.]

4. (人教 B 必修一 P81 习题 2 - 2BT3 改编) 已知 $a \in (1, 3)$，$b \in (2, 3)$，则 $a - 2b$ 的取值范围是 （﹣5，﹣1）.

答案： 4.（﹣5，﹣1） [由$b \in (2,3)$得$- 6 \lt - 2b \lt - 4$，
又$1 \lt a \lt 3$，故$- 5 \lt a - 2b \lt - 1$.]

考点一 比较数(式)的大小
例 1 (1) 若正实数 $a$，$b$，$c$ 满足 $c ＜ c^b ＜ c^a ＜ 1$，则 (C)

A.$a^a ＜ a^b ＜ b^a$
B.$a^a ＜ b^a ＜ a^b$
C.$a^b ＜ a^a ＜ b^a$
D.$a^b ＜ b^a ＜ a^a$

答案： 例1（1）C [（1）$\because c$是正实数，且
$c \lt 1,\therefore 0 \lt c \lt 1$，
由$c \lt c^{b} \lt c^{a} \lt 1$，得$0 \lt a \lt b \lt 1$，
$\because \frac{a^{a}}{a^{b}} = a^{a - b} \gt 1,\therefore a^{b} \lt a^{a}$，
$\because \frac{a^{a}}{b^{a}} = (\frac{a}{b})^{a} ,0 \lt \frac{a}{b} \lt 1,a \gt 0$，
$\therefore (\frac{a}{b})^{a} \lt 1$，即$a^{a} \lt b^{a}$，
综上可知，$a^{b} \lt a^{a} \lt b^{a}$.]

(2) 已知 $M = \frac{e^{2024} + 1}{e^{2025} + 1}$，$N = \frac{e^{2025} + 1}{e^{2026} + 1}$，则 $M$，$N$ 的大小关系为 M ＞ N.

答案： （2）$M \gt N$ [（2）法一$M - N = \frac{e^{2024} + 1}{e^{2025} + 1} - \frac{e^{2025} + 1}{e^{2026} + 1}$
$=\frac{(e^{2024} + 1)(e^{2026} + 1) - (e^{2025} + 1)^{2}}{(e^{2025} + 1)(e^{2026} + 1)}$
$=\frac{e^{2024} + e^{2026} - 2e^{2025}}{(e^{2025} + 1)(e^{2026} + 1)}$
$=\frac{e^{2025}(e^{- 1}) + e^{2025}(e^{1}) - 2e^{2025}}{(e^{2025} + 1)(e^{2026} + 1)}$
$=\frac{e^{2024}(e - 1)^{2}}{(e^{2025} + 1)(e^{2026} + 1)} \gt 0$.
$\therefore M \gt N$.
法二 令$f(x) = \frac{e^{x} + 1}{e^{x + 1} + 1}$
$=\frac{1}{e} \cdot \frac{(e^{x + 1} + 1) + 1 - \frac{1}{e}}{e^{x + 1} + 1}$
$=\frac{1}{e} + \frac{1 - \frac{1}{e}}{e^{x + 1} + 1}$
显然$f(x)$是R上的减函数，
$\therefore f(2024) \gt f(2025)$，即$M \gt N$.]