《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例3 (2025·衡阳质检)如图是一座山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为$1\ km$，峰底$A$到峰顶$S$的距离为$4\ km$，$B$是山坡$SA$的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从$A$到$B$的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为 (D)

A.$2\ km$
B.$3\ km$
C.$2\sqrt{5}\ km$
D.$\frac{4\sqrt{5}}{5}\ km$

答案：
例3　D　[将圆锥的侧面沿SA展开，可得其侧面展开图如图
　　　　　
则从点A到点B的环山观光公路最短为线段A'B，
设A'A的长度为l，
则l = 2π km，
所以∠A'SA = $\frac{l}{4}$ = $\frac{\pi}{2}$.
过S作SP⊥A'B于点P，
则公路距山顶的最近距离为SP的长，
因为BA' = $\sqrt{4² + 2²}$ = 2$\sqrt{5}$(km)，
所以SP = $\frac{SB·SA'}{BA'}$ = $\frac{8}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$(km).]

(1)(2024·枣庄调研)给出下列四个命题，正确的是 (D)

A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱
B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱

答案：
训练1　
(1)D　[
(1)对于A，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故A错；
对于B，等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图)，故B错；
对于C，若底面不是矩形，则C错；
对于D，可知侧棱垂直于底面，故D正确.
　　　　　　　　　

(2)如图，$\triangle A'O'B'$是水平放置的$\triangle AOB$的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知$O'$为坐标原点，顶点$A'$，$B'$均在坐标轴上，且$\triangle AOB$的面积为$12$，则$O'B'$的长度为 (B)


A.1
B.2
C.3
D.4

答案：

(2)B　
(2)法一　如图，画出△AOB的原图，为直角三角形，且OA=O'A'=6，
因为$\frac{1}{2}$OB·OA = 12，
　　　　　　　　　　　　
所以OB = 4，
所以O'B' = $\frac{1}{2}$OB = 2.
法二　S_{直观图} = $\frac{\sqrt{2}}{4}$S_{原图形} = 3√2，
又S_{直观图} = $\frac{1}{2}$O'A'·O'B'·sin∠A'O'B'，
所以O'B' = 2.

(3)扇面是中国书画作品的一种重要表现形式.一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为$27$，$12$的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为$\frac{2\pi}{3}$.若某几何体的侧面展开图恰好与圆中扇面的形状、大小一致，则该几何体的高为 (C)


A.15
B.$\sqrt{233}$
C.$10\sqrt{2}$
D.12

答案：
(3)C　
(3)由题意得，该几何体是圆台.
取一个圆锥，其侧面展开图是半径为27，圆心角为$\frac{2\pi}{3}$的扇形，
设该圆锥的底面半径为r，
则2πr = $\frac{2\pi}{3}$×27，解得r = 9，
所以该圆锥的高h₁ = $\sqrt{27² - 9²}$ = 18√2.
同理可得，侧面展开图是半径为12，圆心角为$\frac{2\pi}{3}$的扇形的圆锥的高h₂ = 8√2，
所以所求几何体，即圆台的高h = h₁ - h₂ = 18√2 - 8√2 = 10√2.]