《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

考点一 等比数列基本量的求解
例1 (1)(多选)(2025·河南部分名校联考)设等比数列$\{a_n\}$的前n项和为$S_n$,且$S_n = 2^{n + 1} + a$(a为常数),则(BC)

A.$a = - 1$
B.数列$\{a_n\}$的公比为2
C.$a_n = 2^n$
D.$S_9 = 1023$

答案：
(1)BC[
(1)因为$S_n=2^{n+1}+a$,所以$a_1=4+a$,$a_2=S_2-S_1=4,a_3=S_3-S_2=8$.因为$\{a_n\}$是等比数列,所以$a_2^2=a_1a_3$,即$4^2=8(4+a)$,解得$a=-2$,则$A$错误;数列$\{a_n\}$的公比$q=\frac{a_3}{a_2}=2$,则$B$正确;因为$a=-2$,所以$S_n=2^{n+1}-2$,所以$S_9=2^{10}-2=1022$,则$D$错误.]

(2)(多选)(2025·长沙模拟)在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是(ACD)

A.此人第二天走了九十六里路
B.此人第三天走的路程占全程的$\frac{1}{8}$
C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
D.此人后三天共走了四十二里路

答案：
(2)ACD[
(2)设此人第$n$天走$a_n$里路,则数列$\{a_n\}$是首项为$a_1$,公比为$\frac{1}{2}$的等比数列,因为$S_6=378$,所以$S_6=\frac{a_1(1-\frac{1}{2^6})}{1-\frac{1}{2}}=378$,解得$a_1=192$.对于$A$,由于$a_2=192×\frac{1}{2}=96$,所以此人第二天走了九十六里路,所以$A$正确;对于$B$,由于$a_3=192×\frac{1}{4}=48,378＞\frac{48}{1-\frac{1}{8}}$,所以$B$不正确;对于$C$,由于$378-192=186,192-186=6$,所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里,所以$C$正确;对于$D,a_4+a_5+a_6=378-192-96-48=42$,所以此人后三天共走了四十二里路,所以$D$正确.]

(3)(2025·淄博模拟)已知等比数列$\{a_n\}$共有2n + 1项,$a_1 = 1$,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为42,则公比q =______.

答案：
(3)2[
(3)依题意,知$a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{2n+1}=85$,即$a_2q+a_4q+\cdots+a_{2n}q=84$,而$a_2+a_4+\cdots+a_{2n}=42$,所以$q=2$.]

训练1 (2024·全国甲卷)已知等比数列$\{a_n\}$的前n项和为$S_n$,且$2S_n = 3a_{n + 1} - 3$.
(1)求$\{a_n\}$的通项公式;
(2)求数列$\{S_n\}$的前n项和.解(1)因为$2S_n=3a_{n+1}-3$,所以$2S_{n+1}=3a_{n+2}-3$,两式相减可得$2a_{n+1}=3a_{n+2}-3a_{n+1}$,即$a_{n+2}=\frac{5}{3}a_{n+1}$,所以等比数列$\{a_n\}$的公比为$\frac{5}{3}$.因为$2S_1=3a_2-3=5a_1-3$,所以$a_1=1$,故$a_n=(\frac{5}{3})^{n-1}$.(2)因为$2S_n=3a_{n+1}-3$,所以$S_n=\frac{3}{2}(a_{n+1}-1)=\frac{3}{2}[(\frac{5}{3})^n-1]$.设数列$\{S_n\}$的前$n$项和为$T_n$,则$T_n=\frac{3}{2}×\frac{\frac{5}{3}[1-(\frac{5}{3})^n]}{1-\frac{5}{3}}=\frac{15}{4}×(\frac{5}{3})^n-\frac{15}{4}$.

答案： 训练1解
(1)因为$2S_n=3a_{n+1}-3$,所以$2S_{n+1}=3a_{n+2}-3$,两式相减可得$2a_{n+1}=3a_{n+2}-3a_{n+1}$,即$a_{n+2}=\frac{5}{3}a_{n+1}$,所以等比数列$\{a_n\}$的公比为$\frac{5}{3}$.因为$2S_1=3a_2-3=5a_1-3$,所以$a_1=1$,故$a_n=(\frac{5}{3})^{n-1}$.
(2)因为$2S_n=3a_{n+1}-3$,所以$S_n=\frac{3}{2}(a_{n+1}-1)=\frac{3}{2}[(\frac{5}{3})^n-1]$.设数列$\{S_n\}$的前$n$项和为$T_n$,则$T_n=\frac{3}{2}×\frac{\frac{5}{3}[1-(\frac{5}{3})^n]}{1-\frac{5}{3}}=\frac{15}{4}×(\frac{5}{3})^n-\frac{15}{4}$.

考点二 等比数列的判定与证明
例2 (2025·1月八省联考节选)已知数列$\{a_n\}$中,$a_1 = 3,a_{n + 1} = \frac{3a_n}{a_n + 2}$.
(1)证明:数列$\{1 - \frac{1}{a_n}\}$为等比数列;
(2)求$\{a_n\}$的通项公式.(1)证明因为$a_{n + 1} = \frac{3a_n}{a_n + 2}$,所以$\frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{a_n + 2}{3a_n} = \frac{2}{3a_n} + \frac{1}{3}$,所以$\frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a_n} + \frac{1}{3}$,所以$1 - \frac{1}{a_{n + 1}} = 1 - (\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a_n} + \frac{1}{3})$,即$1 - \frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{2}{3}(1 - \frac{1}{a_n})$,所以$1 - \frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{2}{3}$,又因为$1 - \frac{1}{a_1} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$,所以数列$\{1 - \frac{1}{a_n}\}$是以$\frac{2}{3}$为首项,$\frac{2}{3}$为公比的等比数列.(2)解由(1)知,$1 - \frac{1}{a_n} = \frac{2}{3}\cdot(\frac{2}{3})^{n - 1} = (\frac{2}{3})^n$,所以$\frac{1}{a_n} = 3^n - 2^n$,所以$a_n = \frac{3^n}{3^n - 2^n}$.

答案：
(1)证明因为$a_{n+1}=\frac{3a_n}{a_n+2}$,所以$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_n+2}{3a_n}=\frac{2}{3a_n}+\frac{1}{3}$,所以$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a_n}+\frac{1}{3}$,所以$1-\frac{1}{a_{n+1}}=1-(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a_n}+\frac{1}{3})$,即$1-\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2}{3}(1-\frac{1}{a_n})$,所以$1-\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2}{3}$,又因为$1-\frac{1}{a_1}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$,所以数列$\{1-\frac{1}{a_n}\}$是以$\frac{2}{3}$为首项,$\frac{2}{3}$为公比的等比数列.
(2)解由
(1)知,$1-\frac{1}{a_n}=\frac{2}{3}\cdot(\frac{2}{3})^{n-1}=(\frac{2}{3})^n$,所以$\frac{1}{a_n}=3^n-2^n$,所以$a_n=\frac{3^n}{3^n-2^n}$.