《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 复数的有关概念
(1)定义:我们把集合C$=\{ a + bi|a,b∈R\}$中的数,即形如$a + bi(a,b∈R)$的数叫做复数,其中$a$叫做复数$z$的实部,$b$叫做复数$z$的虚部($i$为虚数单位).
(2)分类

(3)复数相等:$a + bi = c + di\Leftrightarrow$a=c且b=d($a,b,c,d∈R$).
(4)共轭复数:$a + bi$与$c + di$共轭$\Leftrightarrow$a=c,b=-d($a,b,c,d∈R$).
(5)模:向量$\overrightarrow{OZ}$的模叫做复数$z = a + bi$的模,记作|a+bi|或|z|,即$|z| = |a + bi| =$\sqrt{a^{2}+b^{2}}($a,b∈R$).

答案： 1.
(1)C 实部 虚部
(2)b=0 b≠0 a=0且b≠0
(3)a=c且b=d
(4)a=c,b=−d
(5)|a+bi| |z|$ \sqrt{a^{2}+b^{2}}$

2. 复数的几何意义
复数$z = a + bi$与复平面内的点Z(a,b)及平面向量$\overrightarrow{OZ} = (a,b)(a,b∈R)$是一一对应关系.

答案： 2.Z(a,b)

3. 复数的运算
(1)运算法则:设$z_1 = a + bi,z_2 = c + di,a,b,c,d∈R$.
$\begin{aligned}z_1\pm z_2&:(a + bi)\pm(c + di)=\\z_1\cdot z_2&:(a + bi)(c + di)=\frac{z_1}{z_2}&:\frac{a + bi}{c + di}= (c + di\neq0)\end{aligned}$
(2)几何意义:复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形$OZ_1ZZ_2$可以直观地反映出复数加、减法的几何意义,即$\overrightarrow{OZ} =$,$\overrightarrow{Z_1Z_2} =$.

答案： $3.(1)(a±c)+(b±d)i (ac−bd)+(bc+ad)i \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc−ad}{c^{2}+d^{2}}i (2)\overrightarrow{OZ_{1}}+\overrightarrow{OZ_{2}} \overrightarrow{OZ_{2}}-\overrightarrow{OZ_{1}}$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数$z = a + bi(a,b∈R)$中,虚部为$bi$. (×)
(2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小. (×)
(3)原点是实轴与虚轴的交点. (√)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模. (√)

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)√
(4)√ [
(1)虚部为b；
(2)虚数不可以比较大小.]

2. (人教 A 必修二 P69 例 1 改编)若复数$z = m + 1 + (m - 1)i$为纯虚数,则实数$m =$-1.

答案： 2.−1 [由题意知$\begin{cases}m + 1 = 0,\\m - 1≠0,\end{cases}$解得m=−1.]

3. (人教 A 必修二 P94T1(2)改编)复数$\frac{5}{i - 2}$的共轭复数是-2+i.

答案： $3.−2+i [\frac{5}{i−2}=\frac{5(−2−i)}{(−2+i)(−2−i)}=−2−i,$
故其共轭复数是−2+i.]

4. (北师大必修二 P183 例 5 改编)计算:$(-2 - i)\cdot(3 + i) =$-5-5i.

答案： $4.−5−5i [(−2−i)(3+i)=−2×3−2×i−3×i−i^{2}=−6−2i−3i+1=−5−5i.]$