《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例3 (1)(2024·北京卷)已知集合$M = \{x\mid - 3\lt x\lt 1\}$，$N = \{x\mid - 1\leqslant x\lt 4\}$，则$M\cup N=$(C)

A.$\{x\mid - 1\leqslant x\lt 1\}$
B.$\{x\mid x\gt - 3\}$
C.$\{x\mid - 3\lt x\lt 4\}$
D.$\{x\mid x\lt 4\}$

答案： 1.
(1)C　[
(1)由集合的并运算,得M∪N={x|-3＜x＜4}.]

(2)(2024·全国甲卷)已知集合$A = \{1,2,3,4,5,9\}$，$B = \{x\mid\sqrt{x}\in A\}$，则$\complement_{A}(A\cap B)=$(D)

A.$\{1,4,9\}$
B.$\{3,4,9\}$
C.$\{1,2,3\}$
D.$\{2,3,5\}$

答案：
(2)D　[
(2)B={1,4,9,16,25,81},A∩B={1,4,9},则∁A(A∩B)={2,3,5}.故选D.]

(3)已知集合$A = \{x\mid y = \ln(1 - x^{2})\}$，$B = \{x\mid x\leqslant a\}$，且$(\complement_{\mathbf{R}}A)\cup B=\mathbf{R}$，则实数$a$的取值范围为(B)

A.$(1,+\infty)$
B.$[1,+\infty)$
C.$(-\infty,1)$
D.$(-\infty,1]$

答案：
(3)B　[
(3)由题可知A={x|y=ln(1-x²)}={x|-1 ＜x＜1},∁RA={x|x≤-1或x≥1},所以由(∁RA)∪B=R,得a≥1.]

训练3 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合$A = \{x\mid - 5\lt x^{3}\lt 5\}$，$B = \{-3,-1,0,2,3\}$，则$A\cap B=$(A)
A.$\{-1,0\}$
B.$\{2,3\}$
C.$\{-3,-1,0\}$
D.$\{-1,0,2\}$

答案： 1.
(1)A　[
(1)因为$A={x|-5＜x³＜5}={x|-\sqrt[3]{5}＜x＜\sqrt[3]{5}},B={-3,-1,0,2,3},$所以A∩B={-1,0},故选A.]

(2)(2025·聊城质检)已知全集$U=\mathbf{R}$，集合$A = \{x\mid x(x - 3)\gt 0\}$，$B = \{x\mid\log_{2}(x - 1)\lt 2\}$，则图中阴影部分所表示的集合为(D)


A.$\{x\mid 3\leqslant x\lt 5\}$
B.$\{x\mid 0\leqslant x\leqslant 3\}$
C.$\{x\mid 1\lt x\lt 3\}$
D.$\{x\mid 1\lt x\leqslant 3\}$

答案：
(2)D　[
(2)由Venn图可知阴影部分对应的集合为B∩(∁UA).由x(x-3)＞0,解得x＜0或x＞3,所以A={x|x＜0或x＞3},∁UA={x|0≤x≤3}.由log₂(x-1)＜2=log₂4,得0＜x-1＜4,解得1＜x＜5,所以B={x|1＜x＜5},所以B∩(∁UA)={x|1＜x≤3}.]

(3)已知集合$A$，$B$满足$A = \{x\mid x\gt 1\}$，$B = \{x\mid x\lt a - 1\}$，若$A\cap B=\varnothing$，则实数$a$的取值范围为(B)

A.$(-\infty,1]$
B.$(-\infty,2]$
C.$[1,+\infty)$
D.$[2,+\infty)$

答案：
(3)B　[
(3)因为集合A={x|x＞1},B={x|x＜a-1},且A∩B=∅,则a-1≤1,解得a≤2.]

例4 (多选)(2025·开封联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”。对于集合$A = \{-2,0,\frac{1}{2},1\}$，$B = \{x\mid(ax - 1)\cdot(x + a)=0\}$，若$A$与$B$构成“全食”或“偏食”，则实数$a$的取值可以是(BCD)

A.$-2$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$0$
D.$1$

答案： BCD　[若A与B构成“全食”或“偏食”,则A∩B≠∅.当a=0时,B={0},当a≠0时$,B={ -a,\frac {1}{a} }.$对于A,若a=-2,则$B={2,-\frac {1}{2}},$此时A∩B=∅,不满足题意;对于B,若$a=-\frac {1}{2},$则$B={ \frac {1}{2},-2 },$此时B⊆A,满足题意;对于C，若a=0,则B={0},此时B⊆A,满足题意;对于D，若a=1,则B={-1,1},此时A∩B={1}≠∅,满足题意.故选BCD.]

训练4 (2025·广州调研)若集合$A = \{x\mid 3x^{2}-8x - 3\leqslant 0\}$，$B = \{x\mid x\gt 1\}$，定义集合$A - B = \{x\mid x\in A$且$x\notin B\}$，则$A - B=${x|-\frac {1}{3}≤x≤1}。

答案： $4.{x|-\frac {1}{3}≤x≤1}　[$由3x²-8x-3≤0得$-\frac {1}{3}≤x≤3,$则$A={x|-\frac {1}{3}≤x≤3},$又A-B={x|x∈A且x∉B},则$A-B={x|-\frac {1}{3}≤x≤1}.]$

1. 教材母题（人教 A 必修一 P35T11）学校举办运动会时，高一(1)班共有 28 名同学参加比赛，有 15 人参加游泳比赛，有 8 人参加田径比赛，有 14 人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？

答案： 同时参加田径和球类比赛的有$3$人；只参加游泳一项比赛的有$9$人。

典例
(2024·吉林四校联考)某学校教师中，会打乒乓球的教师人数为 30，会打羽毛球的教师人数为 60，会打篮球的教师人数为 20，若至少会其中一个体育项目的教师人数为 80，且三个体育项目都会的教师人数为 5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为20。

答案： 典例20设$A = \{ x \mid x$是会打乒乓球的教师人数$\}$，
$B = \{ x \mid x$是会打羽毛球的教师人数$\}$，
$C = \{ x \mid x$是会打篮球的教师人数$\}$。
根据题意得$card(A)=30$，$card(B)=60$，$card(C)=20$，$card(A \cup B \cup C)=80$，$card(A \cap B \cap C)=5$。
根据三元容斥原理得$card(A \cup B \cup C)=$
$card(A)+card(B)+card(C)-card(A \cap B)-$
$card(B \cap C)-card(C \cap A)+card(A \cap B \cap C)$，
有$card(A \cap B)+card(B \cap C)+card(C \cap A)$
$=35$，
而$card(A \cap B)+card(B \cap C)+card(C \cap A)$中把$A \cap B \cap C$的区域计算了$3$次，
故要减掉这$3$次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数。
因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为$35 - 3 × 5 = 20$。