《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例 1 (2025·长沙测试)已知 $ M $，$ N $ 分别为椭圆 $ E $：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$ 的左、右顶点，$ F $ 为其右焦点，$\vert FM\vert = 3\vert FN\vert$，且点 $ P(1,\frac{3}{2})$ 在椭圆 $ E $ 上.
(1)求椭圆 $ E $ 的标准方程；
(2)若过 $ F $ 的直线 $ l $ 与椭圆 $ E $ 交于 $ A $，$ B $ 两点，且 $ l $ 与以 $ MN $ 为直径的圆交于 $ C $，$ D $ 两点，证明：$\frac{12}{\vert AB\vert}+\frac{\vert CD\vert^{2}}{4}$ 为定值.$\frac{x²}{4}$+$\frac{y²}{3}$=17
思维建模 探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值.

答案：
(1)解　由|FM|=3|FN|，可得a+c=3(a−c)，解得a=2c。
又因为a²=b²+c²，所以b=√3c。
因为点P(1,$\frac{3}{2}$)在椭圆E上，所以$\frac{1}{a^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{b^{2}}=1$。
解得a=2，b=√3，c=1。
所以椭圆E的标准方程为$\frac{x²}{4}$+$\frac{y²}{3}$=1。
(2)证明　①当l与x轴重合时，|AB|=|CD|=4，所以$\frac{12}{|AB|}$+$\frac{|CD|²}{4}$=7。
②当l不与x轴重合时，设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，直线l的方程为x=my+1。
由$\begin{cases}\frac{x²}{4}+\frac{y²}{3}=1\\x=my+1\end{cases}$消去x并整理得(3m²+4)y²+6my−9=0。
则y₁+y₂=$\frac{−6m}{3m²+4}$，y₁y₂=$\frac{−9}{3m²+4}$。
故|AB|=$\sqrt{(1+m²)[(y₁+y₂)²−4y₁y₂]}$
=$\sqrt{(1+m²)[(\frac{−6m}{3m²+4})²+\frac{36}{3m²+4}]}$
=12×$\frac{m²+1}{3m²+4}$。
圆心O到直线l的距离为$\frac{1}{\sqrt{m²+1}}$。
则|CD|²=4(4−$\frac{1}{m²+1}$)，则$\frac{|CD|²}{4}$=4−$\frac{1}{m²+1}$。
所以$\frac{12}{|AB|}$+$\frac{|CD|²}{4}$=$\frac{3m²+4}{m²+1}$+4−$\frac{1}{m²+1}$=7。
即$\frac{12}{|AB|}$+$\frac{|CD|²}{4}$为定值。

训练 1 (2025·东北三省四市模拟)在平面直角坐标系中，$ F_{1} $，$ F_{2} $ 分别为双曲线 $ C $：$ 3x^{2}-y^{2}=a^{2}(a ＞ 0) $ 的左、右焦点，过 $ F_{2} $ 的直线 $ l $ 与双曲线 $ C $ 的右支交于 $ A $，$ B $ 两点.当 $ l $ 与 $ x $ 轴垂直时，$\triangle ABF_{1}$ 的面积为 $ 12 $.
(1)求双曲线 $ C $ 的标准方程；
(2)当 $ l $ 与 $ x $ 轴不垂直时，作线段 $ AB $ 的垂直平分线，交 $ x $ 轴于点 $ D $.试判断 $\frac{\vert DF_{2}\vert}{\vert AB\vert}$ 是否为定值.若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.x²−$\frac{y²}{3}$=1是定值1

答案：
(1)解　双曲线3x²−y²=a²可化为$\frac{x²}{\frac{a²}{3}}-\frac{y²}{a²}=1$。
当l与x轴垂直时，$S_{\triangle ABF₁}=\frac{1}{2}|F₁F₂|\cdot|AB|=\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}a×2\sqrt{3}a=4a²=12$，解得a²=3。
所以双曲线C的标准方程为x²−$\frac{y²}{3}$=1。
(2)由
(1)知F₂(2,0)，所以可设直线l的方程为x=ty+2(t≠0)。
设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，M为线段AB的中点，联立双曲线C与直线l的方程$\begin{cases}3x²−y²=3\\x=ty+2\end{cases}$，消去x，得(3t²−1)y²+12ty+9=0。
因此y₁+y₂=$\frac{−12t}{3t²−1}$，y₁y₂=$\frac{9}{3t²−1}$。
进而可得x₁+x₂=$\frac{−4}{3t²−1}$，所以线段AB中点M的坐标为($\frac{−2}{3t²−1}$,$\frac{−6t}{3t²−1}$)。
所以线段AB的垂直平分线的方程为y+$\frac{6t}{3t²−1}$=−t(x+$\frac{2}{3t²−1}$)，则D($\frac{−8}{3t²−1}$,0)。
|DF₂|=$\left|2+\frac{8}{3t²−1}\right|=\left|\frac{6t²+6}{3t²−1}\right|$，
|AB|=$\sqrt{1+t²}\cdot\sqrt{(y₁+y₂)²−4y₁y₂}$
=$\sqrt{1+t²}\cdot\sqrt{(\frac{−12t}{3t²−1})²−4\cdot\frac{9}{3t²−1}}$
=$\frac{6t²+6}{|3t²−1|}$。
所以|DF₂|=|AB|，即$\frac{|DF₂|}{|AB|}$为定值1。