《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例 1 (2025·浙江名校协作体联考)定义 $\max \{a, b\}=\left\{\begin{array}{l}a, a \geqslant b, \\ b, a＜b,\end{array}\right.$ 已知函数 $f(x)=\max \{\ln x,-4 x^3+m x-1\}$，其中 $x \in \mathbf{R}$.
(1)当 $m=5$ 时，求过原点的切线方程；
(2)若函数 $f(x)$ 只有一个零点，求实数 $m$ 的取值范围.$x - ey = 0$ 或 $2x - y = 0$$(-\infty,3)\cup(5,+\infty)$

答案：
(1)切线方程是$x - ey = 0$或$2x - y = 0$。
(2)实数$m$的取值范围为$(-\infty,3)\cup(5,+\infty)$。

训练 1 (2025·广州调研)已知函数 $y=f(x)$，$x \in D$，如果存在常数 $M$，对任意满足 $x_1＜x_2＜\cdots＜x_{n-1}＜x_n$ 的实数 $x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}, x_n$，其中 $x_1$，$x_2, \cdots, x_{n-1}, x_n \in D$，都有不等式 $\sum_{i=2}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})| \leqslant M$ 恒成立，则称函数 $y=f(x)$，$x \in D$ 是“绝对差有界函数”.
(1)函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$，$x \geqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$ 是“绝对差有界函数”，求常数 $M$ 的取值范围；
(2)对于函数 $y=f(x)$，$x \in[a, b]$，存在常数 $k$，对任意的 $x_1, x_2 \in[a, b]$，有 $|f(x_1)-f(x_2)| \leqslant k|x_1-x_2|$ 恒成立，求证：函数 $y=f(x)$，$x \in[a, b]$ 为“绝对差有界函数”；
(3)判断函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x \cos \frac{\pi}{2 x}, 0＜x \leqslant 1, \\ 0, x=0\end{array}\right.$ 是不是“绝对差有界函数”？说明理由.$[\frac{2}{e}+e,+\infty)$若$\sum_{i = 2}^{n}|f(x_{i}) - f(x_{i - 1})|\leqslant k\sum_{i = 2}^{n}|x_{i} - x_{i - 1}| = k(b - a)$成立，则可取$M = k(b - a)$，所以函数$y = f(x)$，$x\in[a,b]$为“绝对差有界函数”。不是“绝对差有界函数”理由：$0\lt\frac{1}{2n}\lt\frac{1}{2n - 1}\lt\cdots\lt\frac{1}{2}\lt1$，$n\in N^{*}$，则有$\sum_{i = 2}^{n}|f(x_{i}) - f(x_{i - 1})|=\left|\frac{1}{2n}\cos\frac{2n\pi}{2}-0\right|+\left|\frac{1}{2n - 1}\cos\frac{(2n - 1)\pi}{2}-\frac{1}{2n}\cos\frac{2n\pi}{2}\right|+\cdots+\left|\cos\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{2}\right|$，$\sum_{i = 2}^{n}|f(x_{i}) - f(x_{i - 1})|\geqslant1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{16}+\cdots=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2}+\cdots$，所以对任意常数$M\gt0$，只要$n$足够大，就有区间$[0,1]$的一个划分$0\lt\frac{1}{2n}\lt\frac{1}{2n - 1}\lt\cdots\lt\frac{1}{2}\lt1$满足$\sum_{i = 2}^{n}|f(x_{i}) - f(x_{i - 1})|\gt M$。

答案：
(1)常数$M$的取值范围为$[\frac{2}{e}+e,+\infty)$。
(2)证明：若$\sum_{i = 2}^{n}|f(x_{i}) - f(x_{i - 1})|\leqslant k\sum_{i = 2}^{n}|x_{i} - x_{i - 1}| = k(b - a)$成立，则可取$M = k(b - a)$，所以函数$y = f(x)$，$x\in[a,b]$为“绝对差有界函数”。
(3)不是“绝对差有界函数”。理由：$0\lt\frac{1}{2n}\lt\frac{1}{2n - 1}\lt\cdots\lt\frac{1}{2}\lt1$，$n\in N^{*}$，则有$\sum_{i = 2}^{n}|f(x_{i}) - f(x_{i - 1})|=\left|\frac{1}{2n}\cos\frac{2n\pi}{2}-0\right|+\left|\frac{1}{2n - 1}\cos\frac{(2n - 1)\pi}{2}-\frac{1}{2n}\cos\frac{2n\pi}{2}\right|+\cdots+\left|\cos\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{2}\right|$，$\sum_{i = 2}^{n}|f(x_{i}) - f(x_{i - 1})|\geqslant1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{16}+\cdots=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2}+\cdots$，所以对任意常数$M\gt0$，只要$n$足够大，就有区间$[0,1]$的一个划分$0\lt\frac{1}{2n}\lt\frac{1}{2n - 1}\lt\cdots\lt\frac{1}{2}\lt1$满足$\sum_{i = 2}^{n}|f(x_{i}) - f(x_{i - 1})|\gt M$。