《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例 3 对于任意的 $x＞0$，$e^{x} \geq(a - 1) x+\ln (a x)$ 恒成立，则 $a$ 的最大值是______。

答案： 例3 e $\left[ 由e^{x}\geqslant(a - 1)x+\ln(ax) \right.$，可得$e^{x}+x\geqslant ax+\ln(ax)$，即$e^{x}+x\geqslant e^{\ln(ax)}+\ln(ax)$，令$f(x)=e^{x}+x$，则$f'(x)=e^{x}+1＞0$，因为$f(x)$在$R$上是增函数，所以$x\geqslant\ln(ax)$，即$a\leqslant\frac{e^{x}}{x}$，令$h(x)=\frac{e^{x}}{x}(x＞0)$，则$h'(x)=\frac{(x - 1)e^{x}}{x^{2}}$，当$x\in(0,1)$时，$h'(x)＜0$，$h(x)$单调递减；当$x\in(1,+\infty)$时，$h'(x)＞0$，$h(x)$单调递增，所以$h(x)_{min}=h(1)=e$，即$a\leqslant e$，所以$a$的最大值是$e\left] \right.$

训练 3 若关于 $x$ 的不等式 $e^{x - a} \geq \ln x + a$ 对一切正实数 $x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是(C)
A. $(-\infty, \frac{1}{e})$
B. $(-\infty, e]$
C. $(-\infty, 1]$
D. $(-\infty, 2]$

答案： 训练3 C $\left[ \because e^{x - a}\geqslant\ln x + a \right.$，$\therefore e^{x - a}+x - a\geqslant x+\ln x$，$\therefore e^{x - a}+x - a\geqslant e^{\ln x}+\ln x$.设$f(t)=e^{t}+t$，则$f'(t)=e^{t}+1＞0$，$\therefore f(t)$在$R$上单调递增，即$e^{x - a}+x - a\geqslant e^{\ln x}+\ln x$，$\therefore f(x - a)\geqslant f(\ln x)$，$\therefore x - a\geqslant\ln x$，即$x-\ln x\geqslant a$.设$g(x)=x-\ln x,x＞0$，则$g'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x - 1}{x}$令$g'(x)＞0$，则$x＞1$，令$g'(x)＜0$，则$0＜x＜1$，$\therefore g(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增，在$(0,1)$上单调递减，故$g(x)_{min}=g(1)=1$，故$a\leqslant1\left] \right.$