《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

2. (人教 A 选修一 P102T1(3)改编)与直线 $ 3x - 4y + 5 = 0 $ 关于 $ x $ 轴对称的直线的方程为 (B)

A.$ 3x + 4y - 5 = 0 $
B.$ 3x + 4y + 5 = 0 $
C.$ 3x - 4y + 5 = 0 $
D.$ 3x - 4y - 5 = 0 $

答案： 2.B [直线$3x-4y+5=0$的斜率是$\frac{3}{4}$，
与$x$轴交点为$(-\frac{5}{3},0)$，
因此它关于$x$轴对称的直线方程是$y=-\frac{3}{4}(x+\frac{5}{3})$，即$3x+4y+5=0$.]

3. (苏教选修一 P27T2 改编)以点 $ A(-1,1) $，$ B(2,-1) $，$ C(1,4) $ 为顶点的三角形是 (B)

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法判断

答案： 3.B [由$A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)$可得$k_{AB}=\frac{-1-1}{2+1}=-\frac{2}{3},k_{BC}=\frac{4+1}{1-2}=-5$，
$k_{AC}=\frac{4-1}{1+1}=\frac{3}{2}$，从而$k_{AB}\cdot k_{AC}=-1$，即$AB\perp AC,\angle A$为直角.]

4. (人教 B 选修一 P100T2 改编)已知点 $ B(m,6) $ 到直线 $ y = 3x + 6 $ 的距离为 $ 3 $，则实数 $ m $ 的值为$\pm\sqrt{10}$.

答案： 4.$\pm\sqrt{10}$ [直线化为$3x-y+6=0$，
$d=\frac{\vert3m-6+6\vert}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=3$，解得$m=\pm\sqrt{10}$.]

考点一 两直线的平行与垂直
例 1 已知直线 $ l_1:ax + 2y + 6 = 0 $ 和直线 $ l_2:x + (a - 1)y + a^2 - 1 = 0 $.
(1) 试判断 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 是否平行；
(2) 当 $ l_1 \perp l_2 $ 时，求 $ a $ 的值.解 (1)法一 由$A_1B_2-A_2B_1=0$，得$a(a-1)-1×2=0$，由$A_1C_2-A_2C_1\neq0$，得$a(a^2-1)-1×6\neq0$，所以$l_1// l_2\Leftrightarrow\begin{cases}a(a^2-1)-1×6\neq0\\a(a-1)-1×2=0\end{cases}$，可得$a^2-a-2=0$，$\begin{cases}a(a^2-1)\neq6\end{cases}$，故当$a=-1$时，$l_1// l_2$;$a\neq-1$时，$l_1$与$l_2$不平行.

答案： 例1 解
(1)法一 由$A_1B_2-A_2B_1=0$，
得$a(a-1)-1×2=0$，
由$A_1C_2-A_2C_1\neq0$，得$a(a^2-1)-1×6\neq0$，
所以$l_1// l_2\Leftrightarrow\begin{cases}a(a^2-1)-1×6\neq0\\a(a-1)-1×2=0\end{cases}$，
可得$a^2-a-2=0$，
$\begin{cases}a(a^2-1)\neq6\end{cases}$，
故当$a=-1$时，$l_1// l_2$;$a\neq-1$时，$l_1$与$l_2$不平行.
法二 当$a=1$时，$l_1:x+2y+6=0,l_2:x=0$，$l_1$不平行于$l_2$；
当$a=0$时，$l_1:y=-3,l_2:x-y-1=0$，$l_1$不平行于$l_2$；
当$a\neq1$且$a\neq0$时，两直线方程可化为$l_1:y=-\frac{a}{2}x-3,l_2:y=\frac{1}{1-a}x-(a+1)$，
$l_1// l_2\Leftrightarrow\begin{cases}-\frac{a}{2}=\frac{1}{1-a}\\-3\neq-(a+1)\end{cases}$，解得$a=-1$，
综上，当$a=-1$时，$l_1// l_2$;$a\neq-1$时，$l_1$与$l_2$不平行.
(2)法一 由$A_1A_2+B_1B_2=0$，
得$a+2(a-1)=0$，可得$a=\frac{2}{3}$.
法二 当$a=1$时，$l_1:x+2y+6=0,l_2:x=0$，$l_1$与$l_2$不垂直，故$a=1$不成立；
当$a=0$时，$l_1:y=-3,l_2:x-y-1=0$，$l_1$不垂直于$l_2$，故$a=0$不成立；
当$a\neq1$且$a\neq0$时，$l_1:y=-\frac{a}{2}x-3$，
$l_2:y=\frac{1}{1-a}x-(a+1)$，
由$(-\frac{a}{2})\cdot\frac{1}{1-a}=-1$，得$a=\frac{2}{3}$.

(1) 设 $ \lambda \in \mathbf{R} $，则“$ \lambda = 1 $”是“直线 $ 3x + (\lambda - 1)y = 1 $ 与直线 $ \lambda x + (1 - \lambda)y = 2 $ 平行”的 (A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： 训练1
(1)A [
(1)若直线$3x+(\lambda-1)y=1$与直线$\lambda x+(1-\lambda)y=2$平行，
则$3(1-\lambda)-\lambda(1-\lambda)=0$，
解得$\lambda=1$或$\lambda=-3$，
经检验，$\lambda=1$或$\lambda=-3$时两直线平行，
故“$\lambda=1$”是“直线$3x+(\lambda-1)y=1$与直线$\lambda x+(1-\lambda)y=2$平行”的充分不必要条件.]

(2) (2025·宁波质检)若 $ a,b $ 为正实数，直线 $ 2x + (2a - 4)y + 1 = 0 $ 与直线 $ 2bx + y - 2 = 0 $ 互相垂直，则 $ ab $ 的最大值为$\frac{1}{2}$.

答案： 训练1
(2)$\frac{1}{2}$ [
(2)由两直线垂直得$4b+2a-4=0$，
即$2=a+2b\geq2\sqrt{2ab},ab\leq\frac{1}{2}$，
当且仅当$a=1,b=\frac{1}{2}$时，等号成立.
故$ab$的最大值为$\frac{1}{2}$.]

考点二 两直线的交点与距离问题
例 2
(1) 经过两直线 $ l_1:2x - y + 3 = 0 $ 与 $ l_2:x + 2y - 1 = 0 $ 的交点，且平行于直线 $ 3x + 2y + 7 = 0 $ 的直线方程是 (D)
A.$ 2x - 3y + 5 = 0 $
B.$ 2x + 3y - 1 = 0 $
C.$ 3x + 2y - 2 = 0 $
D.$ 3x + 2y + 1 = 0 $

答案： 例2
(1)D [
(1)法一 由$\begin{cases}2x-y+3=0\\x+2y-1=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}$
所以直线$l_1$与$l_2$的交点为$(-1,1)$，
设与直线$3x+2y+7=0$平行的直线为$3x+2y+m=0(m\neq7)$，
所以$3×(-1)+2×1+m=0$，解得$m=1$，
所以所求直线方程为$3x+2y+1=0$.
法二 设所求直线方程为$2x-y+3+\lambda(x+2y-1)=0$，即$(\lambda+2)x+(2\lambda-1)y+3-\lambda=0$，
又该直线与$3x+2y+7=0$平行，
故$(\lambda+2)\cdot2-3\cdot(2\lambda-1)=0$，
解得$\lambda=\frac{7}{4}$，
故所求直线方程为$(\frac{7}{4}+2)x+(\frac{7}{2}-1)y+3-\frac{7}{4}=0$，
即$3x+2y+1=0$.]

(2) (2025·九省联考)已知 $ Q $ 为直线 $ l:x + 2y + 1 = 0 $ 上的动点，点 $ P $ 满足 $ \overrightarrow{QP} = (1,-3) $，记 $ P $ 的轨迹为 $ E $，则 (C)

A.$ E $ 是一个半径为 $ \sqrt{5} $ 的圆
B.$ E $ 是一条与 $ l $ 相交的直线
C.$ E $ 上的点到 $ l $ 的距离均为 $ \sqrt{5} $
D.$ E $ 是两条平行直线[(2)设$Q(-1-2a,a)(a\in R),P(x,y)$，故$\overrightarrow{QP}=(x+1+2a,y-a)=(1,-3)$，所以$\begin{cases}x+1+2a=1\\y-a=-3\end{cases}$，

答案： 例2
(2)C [
(2)设$Q(-1-2a,a)(a\in R),P(x,y)$，
故$\overrightarrow{QP}=(x+1+2a,y-a)=(1,-3)$，
所以$\begin{cases}x+1+2a=1\\y-a=-3\end{cases}$，
整理得$\begin{cases}x=-2a\\y=a-3\end{cases}$，
消去$a$可得$x+2y+6=0$，
所以轨迹$E$的方程为$x+2y+6=0$，
直线$x+2y+6=0$与直线$x+2y+1=0$的距离$d=\frac{\vert6-1\vert}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt{5}$，
因此$E$上的点到$l$的距离均为$\sqrt{5}$，故C正确.]

(1) (2020·全国Ⅲ卷)点 $ (0,-1) $ 到直线 $ y = k(x + 1) $ 距离的最大值为 (B)

A.$ 1 $
B.$ \sqrt{2} $
C.$ \sqrt{3} $
D.$ 2 $

答案： 训练2
(1)B [
(1)设点$A(0,-1)$，
直线$l:y=k(x+1)$，
由$l$恒过定点$B(-1,0)$，
当$AB\perp l$时，点$A(0,-1)$到直线$y=k(x+1)$的距离最大，最大值为$\sqrt{2}$.]

(2) 若两平行直线 $ 3x - 2y - 1 = 0 $，$ 6x + ay + c = 0 $ 之间的距离为 $ \frac{2\sqrt{13}}{13} $，则 $ c $ 的值是2或-6.

答案： 训练2
(2)2或-6 [
(2)由题意得$\frac{3}{6}=\frac{-2}{a}\neq\frac{-1}{c}$，
$\therefore a=-4,c\neq-2$，
则$6x+ay+c=0$可化为$3x-2y+\frac{c}{2}=0$.
由两平行线间的距离公式得$\frac{\vert\frac{c}{2}+1\vert}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
即$\frac{c}{2}+1=2$或$\frac{c}{2}+1=-2$，解得$c=2$或$c=-6$.]