《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

(1) 若 $a = \frac{\ln 3}{3}$，$b = \frac{\ln 4}{4}$，$c = \frac{\ln 5}{5}$，则 (B)

A.$a ＜ b ＜ c$
B.$c ＜ b ＜ a$
C.$c ＜ a ＜ b$
D.$b ＜ a ＜ c$

答案： 训练1 （1）B [（法一）易知$a,b,c$都是正数，
$\frac{b}{a} = \frac{3\ln 4}{4\ln 3} = \log_{3}64 \lt 1$，所以$a \gt b$；
$\frac{b}{c} = \frac{5\ln 4}{4\ln 5} = \log_{625}1024 \gt 1$，所以$b \gt c$.
即$c \lt b \lt a$.
法二 构造函数$f(x) = \frac{\ln x}{x}$，则$f'(x) =$
$\frac{1 - \ln x}{x^{2}}$，由$f'(x) \gt 0$，得$0 \lt x \lt e$；由$f'(x) \lt 0$，
得$x \gt e$.
$\therefore f(x)$在$(0,e)$上单调递增，在$(e, + \infty)$上单调
递减，$\therefore f(3) \gt f(4) \gt f(5)$，即$a \gt b \gt c$.]

(2) (2025·上海调研) 如果 $x ＜ 0$，$0 ＜ y ＜ 1$，那么 $\frac{y^2}{x}$，$\frac{y}{x}$，$\frac{1}{x}$ 的大小关系是 ______.

答案： （2）$\frac{y^{2}}{x} \gt \frac{y}{x} \gt \frac{1}{x}$
[（2）法一 因为三个式子的值很明显都是负数，
且$\frac{y^{2}}{x} ÷ \frac{y}{x} = y \in (0,1)$，所以$\frac{y^{2}}{x} \lt \frac{y}{x}$；
同理$\frac{y}{x} ÷ \frac{1}{x} = y \in (0,1)$，所以$\frac{y}{x} \lt \frac{1}{x}$；
综上，$\frac{1}{x} \gt \frac{y}{x} \gt \frac{y^{2}}{x}$.
法二 因为$\frac{y^{2}}{x} ÷ \frac{y}{x} = \frac{y(y - 1)}{x} \gt 0$，
所以$\frac{y^{2}}{x} \gt \frac{y}{x}$；
因为$\frac{y}{x} ÷ \frac{1}{x} = \frac{y - 1}{x} \gt 0$，
所以$\frac{y}{x} \gt \frac{1}{x}$，所以$\frac{y^{2}}{x} \gt \frac{y}{x} \gt \frac{1}{x}$.]

考点二 不等式的基本性质
例 2 (1) 若实数 $a$，$b$ 满足 $a ＜ b ＜ 0$，则 (B)

A.$a + b ＞ 0$
B.$a - b ＜ 0$
C.$|a| ＜ |b|$
D.$\left| \frac{1}{a} \right| ＞ \left| \frac{1}{b} \right|$

答案： 例2 （1）B [（1）由$a \lt b \lt 0$，可得$a + b$
$\lt 0$，故A错误；
由$a \lt b \lt 0$，可得$a - b \lt 0$，故B正确；
由$a \lt b \lt 0$，可得$- a \gt - b \gt 0$，所以$\vert a \vert \gt \vert b \vert$，
故C错误；
由$a \lt b \lt 0$，可得$\vert a \vert \gt \vert b \vert \gt 0$，
所以$\frac{1}{a} \lt \frac{1}{b}$，故D错误.]

(2)(多选)已知 $a$，$b$，$c$ 为实数，则下列说法正确的是 (BCD)

A.若 $a ＞ b$，则 $ac^2 ＞ bc^2$
B.若 $a ＞ b$，则 $a + c ＞ b + c$
C.若 $a ＞ b ＞ c ＞ 0$，则 $\frac{a}{b} ＞ \frac{a + c}{b + c}$
D.若 $a ＞ b ＞ c ＞ 0$，则 $\frac{b}{a - b} ＞ \frac{c}{a - c}$

答案： （2）BCD [（2）当$c = 0$时，$ac^{2} = bc^{2}$，故A错误；
由不等式的可加性可知，B正确；
若$a \gt b \gt c \gt 0$，则$a - b \gt 0,b + c \gt 0$，
$\therefore \frac{a}{b} - \frac{a + c}{b + c} = \frac{a(b + c) - b(a + c)}{b(b + c)}$
$=\frac{c(a - b)}{b(b + c)} \gt 0,\therefore \frac{a}{b} \gt \frac{a + c}{b + c}$，故C正确；
若$a \gt b \gt c \gt 0$，则$a - b \gt 0,a - c \gt 0,b - c \gt 0$，
且$a - c \gt a - b,\therefore \frac{1}{a - b} \gt \frac{1}{a - c} \gt 0$.
又$b \gt c \gt 0$，由可乘性知，$\frac{b}{a - b} \gt \frac{c}{a - c}$，故D
正确.]

(1) 设 $a$，$b$，$c$，$d$ 为实数，且 $c ＜ d$，则 “$a ＜ b$” 是 “$a - c ＜ b - d$” 的 (B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 训练2 （1）B [（1）由$a \lt b$不能推出
$a - c \lt b - d$，如$a = 2,b = 3,c = 0,d = 1$，满足
$a \lt b$,但是$a - c = b - d$，故充分性不成立；
当$a - c \lt b - d$时，又$c \lt d$，可得$a - c + c \lt$
$b - d + d$，即$a \lt b$，故必要性成立，所以“$a \lt b$”
是“$a - c \lt b - d$”的必要不充分条件.]

(2)(多选)若 $\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} ＜ 0$，则下列不等式正确的是 (AC)

A.$\frac{1}{a + b} ＜ \frac{1}{ab}$
B.$|a| + b ＞ 0$
C.$a - \frac{1}{a} ＞ b - \frac{1}{b}$
D.$\ln a^2 ＞ \ln b^2$

答案： （2）AC [（2）由$\frac{1}{a} \lt \frac{1}{b} \lt 0$，可知$b \lt a \lt 0$.
A中，因为$a + b \lt 0,ab \gt 0$，所以$\frac{1}{a + b} \lt 0$，
$\frac{1}{ab} \gt 0$，则$\frac{1}{ab} \gt \frac{1}{a + b}$，故A正确；
B中，因为$b \lt a \lt 0$，所以$- b \gt - a \gt 0$，
故$- b \gt \vert a \vert$，即$\vert a \vert + b \lt 0$，故B错误；
C中，因为$b \lt a \lt 0$，又$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} \lt 0$，
则$- \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \gt 0$，所以$a - \frac{1}{a} \gt b - \frac{1}{b}$，故C
正确；
D中，因为$b \lt a \lt 0$，根据$y = x^{2}$在$( - \infty,0)$上
单调递减，可得$b^{2} \gt a^{2} \gt 0$，而$y = \ln x$在定义
域$(0, + \infty)$上单调递增，
所以$\ln b^{2} \gt \ln a^{2}$，故D错误.]

考点三 不等式性质的应用
例 3 (1) (2025·西安质测) 已知 $-1 ＜ a ＜ 5$，$-3 ＜ b ＜ 1$，则以下结论错误的是 (D)

A.$-15 ＜ ab ＜ 5$
B.$-4 ＜ a + b ＜ 6$
C.$-2 ＜ a - b ＜ 8$
D.当 $b \neq 0$ 时，$-\frac{5}{3} ＜ \frac{a}{b} ＜ 5$

答案： 例3 （1）D [（1）由题知$- 1 \lt a \lt 5$，因为
$- 3 \lt b \lt 1$，所以$- 1 \lt - b \lt 3$，
对于A，若$\begin{cases} - 1 \lt a \lt 5, \\ - 3 \lt b \lt 0, \end{cases}$则$- 15 \lt ab \lt 3$，
若$\begin{cases} - 1 \lt a \lt 5, \\ b = 0, \end{cases}$则$ab = 0$，若
$\begin{cases} - 1 \lt a \lt 5, \\ 0 \lt b \lt 1, \end{cases}$则$0 \lt ab \lt 5$，综上$- 15 \lt ab \lt 5$，故A
正确；
对于B，$- 4 = - 3 - 1 \lt a + b \lt 1 + 5 = 6$，故B
正确；
对于C，$- 2 = - 1 - 1 \lt a - b \lt 3 + 5 = 8$，故C
正确；
对于D，当$a = 4,b = \frac{1}{2}$时，$\frac{a}{2b} = \frac{a}{b} = 8$，故D错误.]

(2) (2025·重庆质检) 已知 $a - b \in [5, 27]$，$a + b \in [6, 30]$，则 $7a - 5b$ 的取值范围是 (D)

A.$[-24, 192]$
B.$[-24, 252]$
C.$[36, 252]$
D.$[36, 192]$

答案： （2）D [（2）设$7a - 5b = m(a - b) + n(a + b)$
$=(m + n)a - (m - n)b$，
所以$\begin{cases} m + n = 7, \\ m - n = 5, \end{cases}$解得$\begin{cases} m = 6, \\ n = 1, \end{cases}$
所以$7a - 5b = 6(a - b) + (a + b)$.
又$a - b \in [5,27],a + b \in [6,30]$，
所以$7a - 5b = 6(a - b) + (a + b) \in [36,192]$.]

(1) 已知 $3 ＜ a ＜ 8$，$4 ＜ b ＜ 9$，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围是 $(\frac{1}{3},2)$.

答案： 训练3 （1）$(\frac{1}{3},2)$ [（1）$\because 4 \lt b \lt 9,\therefore \frac{1}{9} \lt \frac{1}{b} \lt \frac{1}{4}$，又$3 \lt a \lt 8$，
$\therefore \frac{1}{9} × 3 \lt \frac{a}{b} \lt \frac{1}{4} × 8$，即$\frac{1}{3} \lt \frac{a}{b} \lt 2$.]

(2) 已知 $-1 ＜ x ＜ 4$，$2 ＜ y ＜ 3$，则 $x - y$ 的取值范围是 $( - 4,2)$，$3x + 2y$ 的取值范围是 $(1,18)$.

答案： （2）$( - 4,2)$ $(1,18)$
[（2）因为$- 1 \lt x \lt 4,2 \lt y \lt 3$，
所以$- 3 \lt - y \lt - 2$，所以$- 4 \lt x - y \lt 2$.
由$- 3 \lt 3x \lt 12,4 \lt 2y \lt 6$，
得$1 \lt 3x + 2y \lt 18$.]