《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

考点三 利用基本不等式解决实际问题
例5 某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层. 某建筑物准备建造可以使用$30$年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是$9$万元. 根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物$30$年间每年的能源消耗费用$N$（单位：万元）与隔热层的厚度$h$（单位：厘米）满足关系：$N(h) = \frac{m}{3h + 4}(0\leqslant h\leqslant 10)$. 经测算知道，如果不建造隔热层，那么$30$年间每年的能源消耗费用为$10$万元. 设$F(h)$为隔热层的建造费用与$30$年间的能源消耗费用的总和，那么使$F(h)$达到最小值的隔热层的厚度$h =$______厘米.

答案： 例5 $\frac{16}{3}$ [由题意及N(h) = $\frac{m}{3h + 4}$，可得N
(0) = $\frac{m}{4}$ = 10，
∴N(h) = $\frac{40}{3h + 4}$隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和F(h) = 30N(h) + 9h = $\frac{1200}{3h + 4}$ + 9h = $\frac{1200}{3h + 4}$ + 3(3h + 4) - 12 ≥ 2$\sqrt{\frac{1200}{3h + 4} \cdot 3(3h + 4)}$12 = 108(万元)，当且仅当$\frac{1200}{3h + 4}$ = 3(3h + 4)，即h = $\frac{16}{3}$厘米时F(h)达到最小值.]

某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润$y$（单位：万元）与机器运转时间$x$（单位：年）的关系式为$y = -x^2 + 18x - 25(x\in \mathbf{N}^*)$，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是______万元.

答案： 训练3 8 [每台机器运转x年的年平均利润为$\frac{y}{x}$ = [18 - (x + $\frac{25}{x}$)]万元，由于x ＞ 0，故$\frac{y}{x}$ ≤ 18 - 2$\sqrt{25}$ = 8，当且仅当x = 5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元.]

典例
(1) 设 $ x,y\in\mathbf{R} $，且 $ 2x + 3y = 13 $，则 $ x^2 + y^2 $ 的最小值为。
(2) 若 $ a,b,c $ 为正实数，且 $ a + b + c = 1 $，则 $ \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} $ 的最大值为。
(3) 若实数 $ x + 2y + 3z = 1 $，则 $ x^2 + y^2 + z^2 $ 的最小值为______。

答案：
(3)根据柯西不等式：
$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(1 + 4 + 9)\geq(x + 2y + 3z)^{2}=1$，
即$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq\frac{1}{14}$，
当且仅当$x=\frac{1}{14},y=\frac{1}{7},z=\frac{3}{14}$时等号成立]