《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

考点一 指数幂的运算
例 1 化简：
(1) $\frac{a^{\frac{4}{3}} - 8a^{\frac{1}{3}}b}{4b^{\frac{2}{3}} + 2\sqrt[3]{ab} + a^{\frac{2}{3}}} ÷ (1 - 2\sqrt[3]{\frac{b}{a}}) × \sqrt[3]{a}$；
(2) $(0.0081)^{-\frac{1}{4}} - [3×(\frac{7}{8})^{0}]^{-1} × [81^{-0.25} + (3\frac{3}{8})^{-\frac{1}{3}}]^{-\frac{1}{2}} - 10×0.027^{\frac{1}{3}}$.a0

答案： 例 1 化简：
(1)a；
(2)0. [
(1)原式=$\frac{a^{\frac{4}{3}} - 8a^{\frac{1}{3}}b}{4b^{\frac{2}{3}} + 2\sqrt[3]{ab} + a^{\frac{2}{3}}} ÷ (1 - 2\sqrt[3]{\frac{b}{a}}) × \sqrt[3]{a}$=$\frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}}-2b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}+2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+4b^{\frac{2}{3}})}{4b^{\frac{2}{3}}+2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}}}×\frac{a^{\frac{1}{3}}× a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}-2b^{\frac{1}{3}}}=a$.
(2)$(0.0081)^{-\frac{1}{4}} - [3×(\frac{7}{8})^{0}]^{-1} × [81^{-0.25} + (3\frac{3}{8})^{-\frac{1}{3}}]^{-\frac{1}{2}} - 10×0.027^{\frac{1}{3}}$=$(\frac{3}{10})^{-1}-\frac{1}{3}×(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})^{-\frac{1}{2}}-10×0.3$=$\frac{10}{3}-\frac{1}{3}-3=0$.]

(1) (多选)已知$a + a^{-1} = 3$，则下列选项正确的是(ABD)

A.$a^{2} + a^{-2} = 7$
B.$a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}} = \pm1$
C.$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = \pm\sqrt{5}$
D.$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = 2\sqrt{5}$

答案：
(1)ABD [
(1)将$a+a^{-1}=3$两边平方，得$(a+a^{-1})^{2}=a^{2}+2+a^{-2}=9$，所以$a^{2}+a^{-2}=7$，故A正确；因为$(a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}})^{2}=a-2+a^{-1}=3-2=1$，$a^{\frac{1}{2}},a^{-\frac{1}{2}}$的大小不确定，所以$a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}}=\pm1$，故B正确；因为$(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})^{2}=a+2+a^{-1}=3+2=5$，又因为$a^{\frac{1}{2}}＞0,a^{-\frac{1}{2}}＞0$，所以$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$，故C错误；由立方和公式，可得$a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}=(a^{\frac{1}{2}})^{3}+(a^{-\frac{1}{2}})^{3}=(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})(a-1+a^{-1})=\sqrt{5}×(3-1)=2\sqrt{5}$，故D正确.]

(2) $(\frac{81}{16})^{-\frac{1}{4}} + \frac{8^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{(-3)^{2}}} - 2×(\sqrt{6} - 2)^{-1} + (\frac{\sqrt{3}}{3})^{0} + 36^{\frac{1}{4}}=$1.

答案：
(2)1 [$( \frac{81}{16})^{-\frac{1}{4}} + \frac{8^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{(-3)^{2}}} - 2×(\sqrt{6} - 2)^{-1} + (\frac{\sqrt{3}}{3})^{0} + 36^{\frac{1}{4}}$=$[(\frac{3}{2})^{4}]^{-\frac{1}{4}} + \frac{(2^{3})^{\frac{2}{3}}}{3} - 2×\frac{\sqrt{6} + 2}{(\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2)} + 1 + (6^{2})^{\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{3} + \frac{4}{3} - (\sqrt{6} + 2) + 1 + \sqrt{6}=1$.]

考点二 指数函数的图象及应用
例 2
(1) (多选)已知$a＞0$，则函数$f(x) = a^{x} - 2a$的图象可能是(AD)

答案：
(1)AD [
(1)当$x=1$时，$f(1)=a - 2a=-a＜0$，排除B，C；当$a=2$时，$f(x)=2^{x}-4$，此时函数对应的图象可能为A；当$a=\frac{1}{2}$时，$f(x)=(\frac{1}{2})^{x}-1$，此时函数对应的图象可能为D.故选AD.]

(2) (多选)(2025·石家庄调研)点$M(x_{1},y_{1})$在函数$y = e^{x}$的图象上，当$x_{1}\in[0,1)$时，$\frac{y_{1} + 1}{x_{1} - 1}$的值可能等于(BC)

A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.$0$

答案：

(2)BC [
(2)$\frac{y_{1} + 1}{x_{1} - 1}$表示过点$M(x_{1},y_{1})$与点$A(1,-1)$的直线的斜率k. $M(x_{1},y_{1})$是$y=e^{x}$在$x\in[0,1)$图象上的动点， $B(1,e)$，则$k\in(-\infty,-2]$，只有B，C满足.]

(1) (多选)已知实数$a,b$满足等式$3^{a} = 6^{b}$，则下列可能成立的关系式为(ABC)

A.$a = b$
B.$0＜b＜a$
C.$a＜b＜0$
D.$0＜a＜b$

答案：

(1)ABC [
(1)由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数$y=3^{x}$和$y=6^{x}$的图象，如图所示，
由图象知，当$a=b=0$时，$3^{a}=6^{b}=1$，故A正确；
作出直线$y=k$，当$k＞1$时，若$3^{a}=6^{b}=k$，则$0 ＜b＜a$，故B正确；
作出直线$y=m$，当$0＜m＜1$时，若$3^{a}=6^{b}=m$，则$a＜b＜0$，故C正确；
当$0＜a＜b$时，易得$2^{b}＞1$，则$3^{a}＜3^{b}＜2^{b}\cdot3^{b}=6^{b}$，故D错误.]

(2) (2025·深圳质检)若直线$y = 2a$与函数$y = |a^{x} - 1|(a＞0$，且$a\neq1)$的图象有两个交点，则$a$的取值范围是$(0,\frac{1}{2})$.

答案：

(2)$(0,\frac{1}{2})$ [
(2)$y=|a^{x}-1|$的图象是由$y=a^{x}$的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，保持x轴上及其上方的图象不变得到的.
当$a＞1$时，如图1，两图象只有一个交点，不符合题意；
当$0＜a＜1$时，如图2，要使两个图象有两个交点，则$0＜2a＜1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$.
　 综上可知，a的取值范围是$(0,\frac{1}{2})$.]