《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 椭圆的定义
(1)平面内与两个定点 $ F_1,F_2 $ 的距离的和等于常数(大于 $ |F_1F_2| $)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.
(2)其数学表达式:集合 $ P = \{ M | |MF_1| + |MF_2| = 2a \},|F_1F_2| = 2c $,其中 $ a ＞ 0,c ＞ 0 $,且 $ a,c $ 为常数:
①若$a＞c$,则集合 $ P $ 为椭圆;
②若$a=c$,则集合 $ P $ 为线段;
③若$a＜c$,则集合 $ P $ 为空集.

答案： 1.
(1)椭圆　焦点　焦距　
(2)①$a＞c$ ②$a=c$ ③$a＜c$

2. 椭圆的标准方程和几何性质

答案： 2.$2a$　$2b$　$2c$　$(0,1)$　$a²−b²$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点 $ F_1,F_2 $ 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. (×)
(2)椭圆的离心率 $ e $ 越大,椭圆就越圆. (×)
(3)方程 $ mx^2 + ny^2 = 1(m ＞ 0,n ＞ 0,m \neq n) $ 表示的曲线是椭圆. (√)
(4)$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a ＞ b ＞ 0) $ 与 $ \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1(a ＞ b ＞ 0) $ 的焦距相同. (√)

答案： 1.
(1)×　
(2)×　
(3)√　
(4)√　[
(1)由椭圆的定义知,当该常数大于$|F_1F_2|$时,其轨迹才是椭圆,而常数等于$|F_1F_2|$时,其轨迹为线段$F_1F_2$,常数小于$|F_1F_2|$时,不存在这样的图形.
(2)因为$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a²−b²}}{a}=\sqrt{1 - (\frac{b}{a})²}$，所以$e$越大,则$\frac{b}{a}$越小,椭圆就越扁.]

2. (人教 A 选修一 P109T1 原题)如果椭圆 $ \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{36} = 1 $ 上一点 $ P $ 与焦点 $ F_1 $ 的距离等于 6,那么点 $ P $ 与另一个焦点 $ F_2 $ 的距离是14.

答案： 2.14　[根据椭圆的定义得$|PF_1|+|PF_2|=2a$,又$a²=100$,即$a=10$,
　所以$6+|PF_2|=20$,故$|PF_2|=14$.]

3. (湘教选修一 P126T3 改编)若直线 $ l:x - 2y + 2 = 0 $ 过椭圆的左焦点 $ F_1 $ 和一个顶点 $ B $,则该椭圆的离心率为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

答案： 3.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$　[$x=0$时,$y=1$,即$b=1$;
　$y=0$时,$x=-2$,即$c=2$,
　故$a=\sqrt{b²+c²}=\sqrt{1²+2²}=\sqrt{5}$,
　故$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
　]

4. (北师大选修一 P57T2 改编)与椭圆 $ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 $ 的焦点相同,且经过点 $ \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \right) $ 的椭圆的标准方程为$\frac{x²}{2}+y²=1$.

答案： 4.$\frac{x²}{2}+y²=1$　[由题设,椭圆焦点为$(\pm1,0)$,则$c=1$,
　令椭圆的标准方程为$\frac{x²}{a²}+\frac{y²}{a²−1}=1$且$a²＞1$,又$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$在椭圆上，则$\frac{(\frac{\sqrt{2}}{2})²}{a²}+\frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})²}{a²−1}=1$,整理得$4a^4−9a²+2=(4a²−1)(a²−2)=0$,解得$a²=2$或$a²=\frac{1}{4}$(舍去),
　所以椭圆的标准方程为$\frac{x²}{2}+y²=1$.]