《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

训练 2 已知函数$f(x) = \ln x - a(x - 1)$，$a \in \mathbf{R}$，$x \in [1, +\infty)$，且$f(x) \leq \frac{\ln x}{x + 1}$恒成立，求$a$的取值范围。$[\frac{1}{2},+\infty)$

答案： 训练2 解$f(x)-\frac{\ln x}{x + 1}=\frac{x\ln x-a(x^{2}-1)}{x + 1}$，构造函数$g(x)=x\ln x-a(x^{2}-1)(x\geq1)$，$g^{\prime}(x)=\ln x + 1-2ax$，令$F(x)=g^{\prime}(x)=\ln x + 1-2ax$，$F^{\prime}(x)=\frac{1-2ax}{x}$。①若$a\leq0$，则$F^{\prime}(x)＞0$，$g^{\prime}(x)$在$[1,+\infty)$上单调递增，$g^{\prime}(x)\geq g^{\prime}(1)=1 - 2a＞0$，$\therefore g(x)$在$[1,+\infty)$上单调递增，$g(x)\geq g(1)=0$，从而$f(x)-\frac{\ln x}{x + 1}\geq0$，不符合题意。②若$0 ＜ a＜\frac{1}{2}$，当$x\in[1,\frac{1}{2a})$时，$F^{\prime}(x)＞0$，$\therefore g^{\prime}(x)$在$[1,\frac{1}{2a})$上单调递增，从而$g^{\prime}(x)\geq g^{\prime}(1)=1 - 2a＞0$，$\therefore g(x)$在$[1,\frac{1}{2a})$上单调递增，$g(x)\geq g(1)=0$，从而$f(x)-\frac{\ln x}{x + 1}\geq0$，不符合题意。③若$a\geq\frac{1}{2}$，则$F^{\prime}(x)\leq0$在$[1,+\infty)$上恒成立，$\therefore g^{\prime}(x)$在$[1,+\infty)$上单调递减，$g^{\prime}(x)\leq g^{\prime}(1)=1 - 2a\leq0$。$\therefore g(x)$在$[1,+\infty)$上单调递减，从而$g(x)\leq g(1)=0$，$f(x)-\frac{\ln x}{x + 1}\leq0$，综上，$a$的取值范围是$[\frac{1}{2},+\infty)$。