《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

(1)(2025·南京、盐城模拟)德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于$ 1618 $年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长$ a $与公转周期$ T $有如下关系：$ T = \frac { 2 \pi } { \sqrt { G M } } \cdot a ^ { \frac { 3 } { 2 } } $，其中$ M $为太阳质量，$ G $为引力常量。已知火星的公转周期约为水星的$ 8 $倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的 (B)

A.$ 2 $倍
B.$ 4 $倍
C.$ 6 $倍
D.$ 8 $倍

答案： 训练2
(1)B [
(1)设火星的公转周期为$T_{1}$,椭圆轨道的长半轴长为$a_{1}$,水星的公转周期为$T_{2}$,椭圆轨道的长半轴长为$a_{2}$,则$T_{1} = 8T_{2}$,且$\begin{cases} T_{1} = \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}a_{1}^{\frac{3}{2}}, \\T_{2} = \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}a_{2}^{\frac{3}{2}}, \end{cases}$①得$\frac{T_{1}}{T_{2}} = (\frac{a_{1}}{a_{2}})^{\frac{3}{2}} = 8$,所以$\frac{a_{1}}{a_{2}} = 4$,即$a_{1} = 4a_{2}$.]

(2)香农 - 威纳指数$ ( H ) $是生态学中衡量群落中生物多样性的一个指数，其计算公式是$ H = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } p _ { i } \cdot \log _ { 2 } p _ { i } $，其中$ n $是该群落中生物的种数，$ p _ { i } $为第$ i $个物种在群落中的比例，下表为某个只有甲、乙、丙三个种群的群落中各种群个体数量统计表，根据表中数据，该群落的香农 - 威纳指数值为 (A)


A.$ \frac { 3 } { 2 } $
B.$ \frac { 3 } { 4 } $
C.$ - \frac { 3 } { 2 } $
D.$ - \frac { 3 } { 4 } $

答案： 训练2
(2)A [
(2)由题意知$H = - (\frac{300}{600} × \log_{2}\frac{300}{600} + \frac{150}{600} × \log_{2}\frac{150}{600} + \frac{150}{600} × \log_{2}\frac{150}{600})$$= - (\frac{1}{2}\log_{2}\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\log_{2}\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\log_{2}\frac{1}{4}) = - (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$.故选A.]

考点三 构建函数模型解决实际问题
例3 李冶（$ 1192 - 1279 $），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：如求圆的直径、正方形的边长等。其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为$ y $亩，若方田的四边到水池的最近距离均为$ 20 $步，则$ y $关于水池半径$ r $（步）的函数关系式为$ y = $____，水池的边缘与方田之间的面积与水池半径比值最小时，$ r = $____（注：$ 240 $平方步为$ 1 $亩，圆周率按$ 3 $近似计算）。

答案： 例3 $y = \frac{1}{240}r^{2} + \frac{2}{3}r + \frac{20}{3}$，40 [已知水池的半径为$r$步，则方田的边长为$(2r + 40)$步，由题意得，$(2r + 40)^{2} - \pi r^{2} = y × 240$，得$y = \frac{1}{240}r^{2} + \frac{2}{3}r + \frac{20}{3}$，$\frac{y}{r} = \frac{r}{240} + \frac{2}{3} + \frac{20}{3r} \geqslant 2\sqrt{\frac{r}{240} × \frac{20}{3r}} + \frac{2}{3} = 2\sqrt{\frac{1}{36}} + \frac{2}{3} = 2 × \frac{1}{6} + \frac{2}{3} = 1$，当且仅当$\frac{r}{240} = \frac{20}{3r}$，即$r = 40$取等号.]

(2025·杭州模拟)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入。若该公司$ 2023 $年全年投入研发资金$ 160 $万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长$ 10\% $，则该公司全年投入的研发资金开始超过$ 200 $万元的年份是(参考数据：$ \lg 1.1 \approx 0.04 $，$ \lg 2 \approx 0.30 $) (C)

A.$ 2024 $年
B.$ 2025 $年
C.$ 2026 $年
D.$ 2027 $年

答案： 训练3 C [设$x$年后，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则$160(1 + 10\%)^{x} ＞ 200$，即$1.1^{x} ＞ \frac{5}{4}$，取常用对数得$x\lg 1.1 ＞ \lg 5 - 2\lg 2$，$x ＞ \frac{\lg 5 - 2\lg 2}{\lg 1.1} ＞ \frac{\lg \frac{10}{2} - 2\lg 2}{\lg 1.1} = \frac{\lg 10 - \lg 2 - 2\lg 2}{\lg 1.1} = \frac{1 - 3\lg 2}{\lg 1.1} \approx \frac{1 - 3 × 0.3}{0.04} = 2.5$，故该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2026年.]