《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

考点一 抛物线的定义和标准方程
例 1 (1)(2025·长沙模拟)在建筑中很多圆顶建筑的顶部会使用抛物线形状，例如飞机库、穹顶体育场和博物馆采用了抛物线形状的圆顶，因为这种形状可以提供良好的结构稳定性，并能使空间更加开阔。图 1 为某机场的一个飞机库，它的一个纵截面呈抛物线形，将其置于平面直角坐标系 $ xOy $ 中，如图 2。已知该飞机库的底面宽度约为 $ 96m $，高度约为 $ 60m $，则此纵截面所在抛物线的方程为(A)

A.$ x^{2}=-\frac{192}{5}y $
B.$ x^{2}=-\frac{96}{5}y $
C.$ x^{2}=-\frac{75}{2}y $
D.$ x^{2}=-75y $

答案： 例1
(1)A　[
(1)由题意可设抛物线方程为$x^2 = -2py(p＞0)$，　由题意知点$(48, -60)$在该抛物线上，　将$(48, -60)$代入抛物线方程，得$48^2 = -2p×(-60)$，解得$p = \frac{96}{5}$，　则抛物线的方程为$x^2 = -\frac{192}{5}y$。

(2)(2024·天津卷)圆 $ (x - 1)^{2}+y^{2}=25 $ 的圆心与抛物线 $ y^{2}=2px(p＞0) $ 的焦点 $ F $ 重合，$ A $ 为两曲线的交点，则原点到直线 $ AF $ 的距离为____。

答案：
(2)$\frac{4}{5}$　[
(2)由题意知圆$(x - 1)^2 + y^2 = 25$的圆心坐标为$(1,0)$，则$F(1,0)$，故$\frac{p}{2} = 1$，$p = 2$，由抛物线的定义得$|AF| = x_A + 1 = 5$，得$x_A = 4$。　由对称性不妨设$A(4,4)$，则直线$AF$的方程为$y = \frac{4}{3}(x - 1)$，　即$4x - 3y - 4 = 0$，所以原点到直线$AF$的距离是$\frac{4}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{4}{5}$。]

(1)(2025·苏州质检)在平面直角坐标系 $ Oxy $ 中，动点 $ P(x,y) $ 到直线 $ x = 1 $ 的距离比它到定点 $ (-2,0) $ 的距离小 1，则 $ P $ 的轨迹方程为(D)

A.$ y^{2}=2x $
B.$ y^{2}=4x $
C.$ y^{2}=-4x $
D.$ y^{2}=-8x $

答案： 训练1
(1)D [
(1)由题意知动点$P(x,y)$到直线$x = 2$的距离与到定点$(-2,0)$的距离相等，　由抛物线的定义知，$P$的轨迹是以$(-2,0)$为焦点，$x = 2$为准线的抛物线，　所以$p = 4$，轨迹方程为$y^2 = -8x$。

(2)(2023·北京卷)已知抛物线 $ C:y^{2}=8x $ 的焦点为 $ F $，点 $ M $ 在 $ C $ 上，若 $ M $ 到直线 $ x = -3 $ 的距离为 5，则 $ |MF| = $(D)

A.7
B.6
C.5
D.4

答案：

(2)D [
(2)如图所示，因为点$M$到直线$x = -3$的距离$|MR| = 5$，　所以点$M$到直线$x = -2$的距离$|MN| = 4$。　又抛物线上点$M$到准线$x = -2$的距离和到焦点$F$的距离相等，故$|MF| = |MN| = 4$。　　　　　　　　　　　 ]

考点二 抛物线的几何性质
角度 1 焦半径和焦点弦
例 2 (1)(2025·荆州调研)设抛物线 $ y^{2}=6x $ 的焦点为 $ F $，准线为 $ l $，$ P $ 是抛物线上位于第一象限内的一点，过 $ P $ 作 $ l $ 的垂线，垂足为 $ Q $，若直线 $ QF $ 的倾斜角为 $ 120^{\circ} $，则 $ |PF| = $(B)

A.3
B.6
C.9
D.12

答案： 例2
(1)B [
(1)抛物线$y^2 = 6x$的焦点$F(\frac{3}{2},0)$，准线$l:x = -\frac{3}{2}$。　设$P(x_0,y_0)(x_0 ＞ 0,y_0 ＞ 0)$，　则$Q(-\frac{3}{2},y_0)$，　因为$QF$的倾斜角为$120°$，　所以$k_{QF} = \frac{y_0 - 0}{-\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} = \tan 120° = -\sqrt{3}$。　即$y_0 = 3\sqrt{3}$，所以$x_0 = \frac{y_0^2}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$，　所以$|PF| = x_0 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} + \frac{3}{2} = 6$。

(2)过抛物线 $ y^{2}=2px(p＞0) $ 的焦点 $ F $ 作倾斜角为 $ 45^{\circ} $ 的直线交抛物线于 $ A,B $ 两点，若线段 $ AB $ 的长为 8，则 $ p = $____。

答案：
(2)2 [
(2)直线$AB$的方程为$y = x - \frac{p}{2}$，与抛物线方程联立消去$y$得$x^2 - 3px + \frac{1}{4}p^2 = 0$，　设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，　根据抛物线的定义，得$|AB| = x_1 + x_2 + p = 4p = 8$，
∴$p = 2$。]