《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

考点三 复数的几何意义
例 3 (1)(多选)(2025·青岛适应性检测)已知复数$z$,下列说法正确的是(AC)

A.若$z - \overline{z} = 0$,则$z$为实数
B.若$z^2 + \overline{z}^2 = 0$,则$z = \overline{z} = 0$
C.若$|z - i| = 1$,则$|z|$的最大值为$2$
D.若$|z - i| = |z| + 1$,则$z$为纯虚数

答案： 例3
(1)AC [
(1)设z=a+bi(a,b∈R),则$\overline{z}=a−bi,$
若$z−\overline{z}=0,$即(a+bi)−(a−bi)=2bi=0,
即b=0,则z为实数,故A正确；
若$z^{2}+\overline{z}^{2}=0,$则$(a+bi)^{2}+(a−bi)^{2}=0,$
$a^{2}−b^{2}+2abi+a^{2}−b^{2}−2abi=0,$
即$a^{2}=b^{2},$即a=±b,故B错误；
若|z−i|=1,则|a+(b−1)i|
$=\sqrt{a^{2}+(b−1)^{2}}=1,$
所以$a^{2}+(b−1)^{2}=1,$
z表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆上的点，且|z|表示圆上的点到原点的距离，所以|z|的最大值为2,故C正确；
若|z−i|=|z|+1,
即$\sqrt{a^{2}+(b−1)^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}+1,$
$b=−\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{},$则a=0且b≤0,
此时z可能为实数也可能为纯虚数，故D错误.]

(2)(多选)(2025·泰安检测)已知复数$z,w$,则下列说法正确的是(ACD)

A.若$z = \overline{w}$,则$\overline{z} = w$
B.若$z = 3 + i$,$w = -2i$,则$z + w$在复平面内对应的点在第二象限
C.若$z^2 = 1$,则$z = \overline{z}$
D.若$|z - 2| = 1$,复数$z$在复平面内对应的点为$Z$,则直线$OZ$($O$为原点)斜率的取值范围为$\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]$

答案：
(2)ACD [
(2)对于A,设z=a+bi(a,b∈R),
则$\overline{z}=a−bi,$若$z=\overline{w},$
则$\overline{w}=a−bi,$
所以w=a−bi,故A正确；
对于B,若z=3+i,w=−2i,则z+w=3−i,
所以z+w在复平面内对应的点在第四象限，
故B错误；
对于C,设z=a+bi(a,b∈R),
由$z^{2}=1,$得$(a^{2}−b^{2})+2abi=1,$
则a=±1,b=0,即z=±1,则$z=\overline{z},$故C正确；
对于D,设z=x+yi(x,y∈R),
则z−2=(x−2)+yi,
若|z−2|=1,则$(x−2)^{2}+y^{2}=1,$
即Z在以(2,0)为圆心，1为半径的圆上，设过原点与圆相切的直线为y=kx,k≠0,
即kx−y=0,
则圆心到切线的距离$d=\frac{|2k|}{\sqrt{k^{2}+(−1)^{2}}}=1,$
解得$k=±\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以直线OZ(O为原点)斜率的取值范围为
$[−\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}],$故D正确.]

(1)(2025·杭州模拟)复数$z = (a + 2) - (a + 3)i$在复平面内对应的点$Z$位于第二象限,则实数$a$的取值范围为(D)

A.$(-\infty,-2)$
B.$(-3,-2)$
C.$(-2,+\infty)$
D.$(-\infty,-3)$

答案： 训练 3
(1)D [
(1)由复数z=(a+2)−(a+3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，可得$\begin{cases}a+2$＜0,\\−(a+3)＞$0,\end{cases}$解得a＜−3,
故实数a的取值范围为(−∞,−3).]

(2)(多选)(2025·西安调研)已知$z$满足$|z + i^2 - i^3| = |z|$,且$z$在复平面内对应的点为$(x,y)$,则(AC)

A.$x - y - 1 = 0$
B.$x + y + 1 = 0$
C.$|z|$的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$|z|$的最小值为$\frac{1}{2}$

答案：
(2)AC [
(2)由题意z=x+yi(x,y∈R),
由|$z+i^{2}−i^{3}$|=|z|,
得|x+yi−1+i|=|x−1+(y+1)i|
=|x+yi|,
即$(x−1)^{2}+(y+1)^{2}=x^{2}+y^{2},$即x−y−1=0.
故A正确；
|z|表示复数z在复平面内对应的点(x,y)到原点的距离，易知其最小值为原点到直线x−y−1
=0的距离，即$\frac{\sqrt{2}}{2},$故C正确.]