《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

考点三 指数函数的性质及应用

答案： 由于您未提供具体的题目内容，无法进行解答。请您补充具体的题目信息，以便我按照要求为您完成解析和答案。

例 3 已知$a = 3^{\frac{2}{3}},b = 2^{\frac{3}{4}},c = 4^{\frac{1}{3}}$，则(D)

A.$c＜a＜b$
B.$b＜c＜a$
C.$b＜a＜c$
D.$c＜b＜a$

答案： 例 3 D [法一 因为$a,b,c$都大于0，
所以可以同时进行乘方运算，
将分数指数幂化成整数指数幂.
$a^{12}=(3^{\frac{2}{3}})^{12}=3^{\frac{2}{3}×12}=3^{8}$，
$b^{12}=(2^{\frac{3}{4}})^{12}=2^{\frac{3}{4}×12}=2^{9}$，
$c^{12}=(4^{\frac{1}{3}})^{12}=4^{\frac{1}{3}×12}=4^{4}=2^{8}$，
很明显，$b＞c,a＞c$，
又$a^{12}=3^{8}=3^{4}×3^{4}=81^{2}=6 561$，
$b^{12}=2^{9}=512$，
所以$c＜b＜a$.
法二 通过观察，$b$与$c$可化成同底数的指数式，我们先比较$b$与$c$，$c=4^{\frac{1}{3}}=(2^{2})^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{2}{3}}$，因为$\frac{3}{4}＞\frac{2}{3}$，所以由函数$y=2^{x}$在R上单调递增可得，$2^{\frac{3}{4}}＞2^{\frac{2}{3}}$，即$b＞c$.
下面我们比较$a$与$b$，
$a=3^{\frac{2}{3}}=(3^{2})^{\frac{1}{3}}=9^{\frac{1}{3}}$，$b=2^{\frac{3}{4}}=(2^{3})^{\frac{1}{4}}=8^{\frac{1}{4}}$，由指数函数与幂函数性质可得$8^{\frac{1}{4}}＜9^{\frac{1}{3}}$，所以$b＜a$.综上，$c＜b＜a$.]

角度 2 解指数方程或不等式
例 4
(1) 已知$y = 4^{x} - 3\cdot2^{x} + 3$的值域为$[1,7]$，则$x$的取值范围是(D)
A.$[2,4]$
B.$(-\infty,0)$
C.$(0,1)\cup[2,4]$
D.$(-\infty,0]\cup[1,2]$

答案：
(1)D [
(1)$\because y=4^{x}-3\cdot2^{x}+3$的值域为$[1,7]$，
$\therefore1\leqslant4^{x}-3\cdot2^{x}+3\leqslant7$，且$2^{x}＞0$，
$\therefore0＜2^{x}\leqslant1$或$2\leqslant2^{x}\leqslant4$，
$\therefore x\leqslant0$或$1\leqslant x\leqslant2$.]

(2) (2025·武汉质检)已知$p:a^{x}＜1(a＞1)$，$q:2^{x + 1} - x＜2$，则$p$是$q$的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案：

(2)B [
(2)$\because a^{x}＜1$，当$a＞1$时，$y=a^{x}$是增函数，
$\therefore p:\{x|x＜0\}$.
对于不等式$2^{x+1}＜x+2$，
作出函数$y=2^{x+1}$与$y=x+2$的图象，如图所示.
由图象可知，不等式$2^{x+1}＜x+2$的解集为$\{x|-1＜x＜0\}$.
$\therefore q:\{x|-1＜x＜0\}$.
又$\because\{x|-1＜x＜0\}\subset\{x|x＜0\}$，
$\therefore p$是$q$的必要不充分条件.]

角度 3 指数函数性质的综合应用
例 5 已知函数$f(x) = \frac{8^{x} + a\cdot2^{x}}{a\cdot4^{x}}$（$a$为常数，且$a\neq0,a\in\mathbf{R}$），且$f(x)$是奇函数.
(1) 求$a$的值；-1
(2) 若$\forall x\in[1,2]$，都有$f(2x) - mf(x)\geqslant0$成立，求实数$m$的取值范围.$[\frac{17}{4},+\infty)$

答案： 例5 解
(1)$a=-1$；
(2)$[\frac{17}{4},+\infty)$ [
(1)$f(x)=\frac{1}{a}×2^{x}+\frac{1}{2^{x}}$，因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$，所以$\frac{1}{a}×\frac{1}{2^{x}}+\frac{1}{2^{-x}}=-(\frac{1}{a}×2^{x}+\frac{1}{2^{x}})$，即$(\frac{1}{a}+1)(2^{x}+\frac{1}{2^{x}})=0$，解得$a=-1$.
(2)因为$f(x)=\frac{1}{2^{x}}-2^{x},x\in[1,2]$，所以$\frac{1}{2^{2x}}-2^{2x}\geqslant m(\frac{1}{2^{x}}-2^{x})$，所以$m\geqslant\frac{1}{2^{2x}}+2^{x},x\in[1,2]$，令$t=2^{x},t\in[2,4]$，由于$y=t+\frac{1}{t}$在$[2,4]$上单调递增，所以$m\geqslant4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$，则实数m的取值范围是$[\frac{17}{4},+\infty)$.]

(1) (多选)若$4^{m} - 4^{n}＜5^{-m} - 5^{-n}$，则下列关系正确的是(ACD)

A.$m＜n$
B.$n^{-3}＞m^{-3}$
C.$\sqrt[3]{m}＜\sqrt[3]{n}$
D.$3^{-n}＜3^{-m}$

答案：
(1)ACD [
(1)由$4^{m}-4^{n}＜5^{-m}-5^{-n}$得$4^{m}-5^{-m}＜4^{n}-5^{-n}$，令$f(x)=4^{x}-5^{-x}$，则$f(m)＜f(n)$. 因为函数$y=4^{x},y=-5^{-x}$在R上都是增函数，所以$f(x)$在R上是增函数，所以$m＜n$，故A正确；当$m=1,n=2$时，$\frac{1}{8}=n^{-3}＜m^{-3}=1$，故B错误；因为函数$y=x^{\frac{1}{3}}$在R上单调递增，所以由$m＜n$得$\sqrt[3]{m}＜\sqrt[3]{n}$，故C正确；因为函数$y=3^{-x}$在R上单调递减，所以由$m＜n$得$3^{-m}＞3^{-n}$，故D正确.]

(2) (多选)(2025·临沂模拟)已知函数$f(x) = \frac{2}{2^{x} - 1} + a(a\in\mathbf{R})$，则(ACD)

A.$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$
B.$f(x)$的值域为$\mathbf{R}$
C.当$a = 1$时，$f(x)$为奇函数
D.当$a = 2$时，$f(-x) + f(x) = 2$

答案：
(2)ACD [
(2)对于函数$f(x)=\frac{2}{2^{x}-1}+a(a\in R)$，令$2^{x}-1\neq0$，解得$x\neq0$，所以$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，故A正确；当$x＞0$时，$2^{x}＞1,2^{x}-1＞0$，$\frac{2}{2^{x}-1}＞0$，所以$\frac{2}{2^{x}-1}+a＞a$；当$x＜0$时，$0＜2^{x}＜1$，$-1＜2^{x}-1＜0$，$\frac{2}{2^{x}-1}＜-2$，所以$\frac{2}{2^{x}-1}+a＜-2+a$，综上可得，$f(x)$的值域为$(-\infty,-2+a)\cup(a,+\infty)$，故B错误；当$a=1$时，$f(x)=\frac{2}{2^{x}-1}+1=\frac{2^{x}+1}{2^{x}-1}$，定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，$f(-x)=\frac{2^{-x}+1}{2^{-x}-1}=-\frac{2^{x}+1}{2^{x}-1}=-f(x)$，所以$f(x)=\frac{2}{2^{x}-1}+1$为奇函数，故C正确；当$a=2$时，$f(x)=\frac{2}{2^{x}-1}+2$，$f(-x)=\frac{2}{2^{-x}-1}+2=\frac{2\cdot2^{x}}{1-2^{x}}+2=-\frac{2\cdot2^{x}}{2^{x}-1}+2$，则$f(-x)+f(x)=2$，故D正确.]