《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例 1 (1)(2024·北京卷)圆$x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0$的圆心到直线$x - y + 2 = 0$的距离为(D)

A.$\sqrt{2}$
B.2
C.3
D.$3\sqrt{2}$

答案： 例1
(1)D
(2)$(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=5$ [
(1)化圆的一般方程为标准方程，得$(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=10$，所以该圆的圆心$(1,-3)$到直线$x-y+2=0$的距离为$\frac{|1-(-3)+2|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$.
(2)法一 设$\odot M$的方程为
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$，
则$\begin{cases}2a+b-1=0,\\(3-a)^{2}+b^{2}=r^{2},\\a^{2}+(1-b)^{2}=r^{2},\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1,\\b=-1,\\r^{2}=5,\end{cases}$
$\therefore M$的方程为$(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=5$.
法二 设$M$的方程为
$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0(D^{2}+E^{2}-4F＞0)$，
则$M\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$，
$\therefore\begin{cases}2\cdot\left(-\frac{D}{2}\right)+\left(-\frac{E}{2}\right)-1=0,\\9+3D+F=0,\\1+E+F=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}D=-2,\\E=2,\\F=-3,\end{cases}$
$\therefore\odot M$的方程为$x^{2}+y^{2}-2x+2y-3=0$，
即$(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=5$.
法三 设$A(3,0)$，$B(0,1)$，$\odot M$的半径为$r$，
则$k_{AB}=\frac{1-0}{0-3}=-\frac{1}{3}$，
$AB$的中点坐标为$\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$，
$\therefore AB$的垂直平分线方程为
$y-\frac{1}{2}=3\left(x-\frac{3}{2}\right)$，即$3x-y-4=0$.
联立$\begin{cases}3x-y-4=0,\\2x+y-1=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=1,\\y=-1,\end{cases}$
所以$M(1,-1)$，
$\therefore r^{2}=|MA|^{2}=(3-1)^{2}+[0-(-1)]^{2}=5$，
$\therefore\odot M$的方程为$(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=5$.]

(2)(2022·全国甲卷)设点$M$在直线$2x + y - 1 = 0$上，点$(3,0)$和$(0,1)$均在$\odot M$上，则$\odot M$的方程为______。

答案： 例1
(1)D
(2)$(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=5$ [
(1)化圆的一般方程为标准方程，得$(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=10$，所以该圆的圆心$(1,-3)$到直线$x-y+2=0$的距离为$\frac{|1-(-3)+2|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$.
(2)法一 设$\odot M$的方程为
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$，
则$\begin{cases}2a+b-1=0,\\(3-a)^{2}+b^{2}=r^{2},\\a^{2}+(1-b)^{2}=r^{2},\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1,\\b=-1,\\r^{2}=5,\end{cases}$
$\therefore M$的方程为$(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=5$.
法二 设$M$的方程为
$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0(D^{2}+E^{2}-4F＞0)$，
则$M\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$，
$\therefore\begin{cases}2\cdot\left(-\frac{D}{2}\right)+\left(-\frac{E}{2}\right)-1=0,\\9+3D+F=0,\\1+E+F=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}D=-2,\\E=2,\\F=-3,\end{cases}$
$\therefore\odot M$的方程为$x^{2}+y^{2}-2x+2y-3=0$，
即$(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=5$.
法三 设$A(3,0)$，$B(0,1)$，$\odot M$的半径为$r$，
则$k_{AB}=\frac{1-0}{0-3}=-\frac{1}{3}$，
$AB$的中点坐标为$\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$，
$\therefore AB$的垂直平分线方程为
$y-\frac{1}{2}=3\left(x-\frac{3}{2}\right)$，即$3x-y-4=0$.
联立$\begin{cases}3x-y-4=0,\\2x+y-1=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=1,\\y=-1,\end{cases}$
所以$M(1,-1)$，
$\therefore r^{2}=|MA|^{2}=(3-1)^{2}+[0-(-1)]^{2}=5$，
$\therefore\odot M$的方程为$(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=5$.]

(1)若圆$C$经过坐标原点，且圆心在直线$y = -2x + 3$上运动，当半径最小时，圆的方程为$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{9}{5}$。

答案： 训练1
(1)$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{9}{5}$
(2)$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=13$或$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5$或$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(y-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}$
或$\left(x-\frac{8}{5}\right)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{169}{25}$(写出一个即可)
[
(1)设圆心坐标为$(a,-2a+3)$，
则圆的半径$r=\sqrt{(a-0)^{2}+(-2a+3-0)^{2}}=$
$\sqrt{5a^{2}-12a+9}=\sqrt{5\left(a-\frac{6}{5}\right)^{2}+\frac{9}{5}}$.
当$a=\frac{6}{5}$时，$r_{\min}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$.
故所求圆的方程为$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{9}{5}$.
(2)依题意设圆的方程为$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+$
$F=0$，其中$D^{2}+E^{2}-4F＞0$.
①若圆过$(0,0)$，$(4,0)$，$(-1,1)$三点，
则$\begin{cases}F=0,\\16+4D+F=0,\\1+1-D+E+F=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}D=-4,\\E=-6,\\F=0,\end{cases}$
所以圆的方程为$x^{2}+y^{2}-4x-6y=0$，
即$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=13$；
②若圆过$(0,0)$，$(4,0)$，$(4,2)$三点，
则$\begin{cases}F=0,\\16+4D+F=0,\\16+4+4D+2E+F=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}D=-4,\\E=-2,\\F=0,\end{cases}$
所以圆的方程为$x^{2}+y^{2}-4x-2y=0$，
即$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5$；
③若圆过$(0,0)$，$(4,2)$，$(-1,1)$三点，
则$\begin{cases}F=0,\\1+1-D+E+F=0,\\16+4+8D+2E+F=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}D=-\frac{8}{3},\\E=-\frac{14}{3},\\F=0,\end{cases}$
所以圆的方程为$x^{2}+y^{2}-\frac{8}{3}x-\frac{14}{3}y=0$，
即$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(y-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}$；
④若圆过$(-1,1)$，$(4,0)$，$(4,2)$三点，
则$\begin{cases}1+1-D+E+F=0,\\16+4D+F=0,\\16+4+4D+2E+F=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}D=-\frac{16}{5},\\E=-2,\\F=\frac{16}{5},\end{cases}$
所以圆的方程为$x^{2}+y^{2}-\frac{16}{5}x-2y-\frac{16}{5}=0$，
即$\left(x-\frac{8}{5}\right)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{169}{25}$.]

(2)(2022·全国乙卷)过四点$(0,0)$，$(4,0)$，$(-1,1)$，$(4,2)$中的三点的一个圆的方程为______。

答案： 训练1
(1)$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{9}{5}$
(2)$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=13$或$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5$或$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(y-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}$
或$\left(x-\frac{8}{5}\right)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{169}{25}$(写出一个即可)
[
(1)设圆心坐标为$(a,-2a+3)$，
则圆的半径$r=\sqrt{(a-0)^{2}+(-2a+3-0)^{2}}=$
$\sqrt{5a^{2}-12a+9}=\sqrt{5\left(a-\frac{6}{5}\right)^{2}+\frac{9}{5}}$.
当$a=\frac{6}{5}$时，$r_{\min}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$.
故所求圆的方程为$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{9}{5}$.
(2)依题意设圆的方程为$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+$
$F=0$，其中$D^{2}+E^{2}-4F＞0$.
①若圆过$(0,0)$，$(4,0)$，$(-1,1)$三点，
则$\begin{cases}F=0,\\16+4D+F=0,\\1+1-D+E+F=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}D=-4,\\E=-6,\\F=0,\end{cases}$
所以圆的方程为$x^{2}+y^{2}-4x-6y=0$，
即$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=13$；
②若圆过$(0,0)$，$(4,0)$，$(4,2)$三点，
则$\begin{cases}F=0,\\16+4D+F=0,\\16+4+4D+2E+F=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}D=-4,\\E=-2,\\F=0,\end{cases}$
所以圆的方程为$x^{2}+y^{2}-4x-2y=0$，
即$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5$；
③若圆过$(0,0)$，$(4,2)$，$(-1,1)$三点，
则$\begin{cases}F=0,\\1+1-D+E+F=0,\\16+4+8D+2E+F=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}D=-\frac{8}{3},\\E=-\frac{14}{3},\\F=0,\end{cases}$
所以圆的方程为$x^{2}+y^{2}-\frac{8}{3}x-\frac{14}{3}y=0$，
即$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(y-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}$；
④若圆过$(-1,1)$，$(4,0)$，$(4,2)$三点，
则$\begin{cases}1+1-D+E+F=0,\\16+4D+F=0,\\16+4+4D+2E+F=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}D=-\frac{16}{5},\\E=-2,\\F=\frac{16}{5},\end{cases}$
所以圆的方程为$x^{2}+y^{2}-\frac{16}{5}x-2y-\frac{16}{5}=0$，
即$\left(x-\frac{8}{5}\right)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{169}{25}$.]

考点二 与圆有关的轨迹问题
例 2 已知$Rt\triangle ABC$的斜边为$AB$，且$A(-1,0)$，$B(3,0)$，求：
(1)直角顶点$C$的轨迹方程；
(2)直角边$BC$的中点$M$的轨迹方程。解 (1)法一 设$C(x,y)$，因为$A$，$B$，$C$三点不共线，所以$y\neq0$.因为$AC\perp BC$，且$BC$，$AC$斜率均存在，所以$k_{AC}\cdot k_{BC}=\frac{y}{x+1}\cdot\frac{y}{x-3}=-1$.又$k_{AC}=\frac{y}{x+1}$，$k_{BC}=\frac{y}{x-3}$，所以$\frac{y}{x+1}\cdot\frac{y}{x-3}=-1$，化简得$x^{2}+y^{2}-2x-3=0$.因此，直角顶点$C$的轨迹方程为$x^{2}+y^{2}-2x-3=0(y\neq0)$.

答案： 例2 解
(1)法一 设$C(x,y)$，因为$A$，$B$，$C$三点不共线，所以$y\neq0$.
因为$AC\perp BC$，且$BC$，$AC$斜率均存在，
所以$k_{AC}\cdot k_{BC}=\frac{y}{x+1}\cdot\frac{y}{x-3}=-1$.
又$k_{AC}=\frac{y}{x+1}$，$k_{BC}=\frac{y}{x-3}$，
所以$\frac{y}{x+1}\cdot\frac{y}{x-3}=-1$，
化简得$x^{2}+y^{2}-2x-3=0$.
因此，直角顶点$C$的轨迹方程为
$x^{2}+y^{2}-2x-3=0(y\neq0)$.
法二 设$AB$的中点为$D$，
由中点坐标公式得$D(1,0)$，
由直角三角形的性质知$|CD|=\frac{1}{2}|AB|=2$.
由圆的定义知，动点$C$的轨迹是以$D(1,0)$为圆心，$2$为半径的圆(由于$A$，$B$，$C$三点不共线，所以应除去与$x$轴的交点)，
所以直角顶点$C$的轨迹方程为
$(x-1)^{2}+y^{2}=4(y\neq0)$.
(2)设$M(x,y)$，$C(x_{0},y_{0})$，
因为$B(3,0)$，$M$是线段$BC$的中点，
由中点坐标公式得$x=\frac{x_{0}+3}{2}$，$y=\frac{y_{0}+0}{2}$，
所以$x_{0}=2x-3$，$y_{0}=2y$.
由
(1)知点$C$的轨迹方程为
$(x-1)^{2}+y^{2}=4(y\neq0)$，
将$x_{0}=2x-3$，$y_{0}=2y$代入得
$(2x-4)^{2}+(2y)^{2}=4$，
即$(x-2)^{2}+y^{2}=1$.
因此动点$M$的轨迹方程为
$(x-2)^{2}+y^{2}=1(y\neq0)$.

(1)(2025·郴州模拟)已知$A$，$B$是$\odot C:(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 25$上的两个动点，$P$是线段$AB$的中点，若$|AB| = 6$，则点$P$的轨迹方程为(C)

A.$(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 16$
B.$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 11$
C.$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 16$
D.$(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 11$

答案： 训练2 C $(2)x^{2}+y^{2}=25$ [
(1)A，B 是
$\odot C$：$(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=25$ 上的两个动点，$P$
是线段$AB$的中点，$|AB|=6$，圆的半径为$5$，
可得$|PC|=\sqrt{25-9}=4$，所以点$P$的轨迹方
程为$(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=16$.
(2)设$M(x,y)$，$A(a,0)$，$B(0,b)$，
则$\sqrt{a^{2}+b^{2}}=10$，$a^{2}+b^{2}=100$，
且$\begin{cases}\frac{a+0}{2}=x,\frac{0+b}{2}=y,\end{cases}$ $\therefore\begin{cases}a=2x,\\b=2y,\end{cases}$
得$4x^{2}+4y^{2}=100$，
即点$M$的轨迹方程为$x^{2}+y^{2}=25$.]

(2)若长为 10 的线段的两个端点$A$，$B$分别在$x$轴和$y$轴上滑动，则线段$AB$的中点$M$的轨迹方程为$x^{2}+y^{2}=25$。

答案： 训练2 C $(2)x^{2}+y^{2}=25$ [
(1)A，B 是
$\odot C$：$(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=25$ 上的两个动点，$P$
是线段$AB$的中点，$|AB|=6$，圆的半径为$5$，
可得$|PC|=\sqrt{25-9}=4$，所以点$P$的轨迹方
程为$(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=16$.
(2)设$M(x,y)$，$A(a,0)$，$B(0,b)$，
则$\sqrt{a^{2}+b^{2}}=10$，$a^{2}+b^{2}=100$，
且$\begin{cases}\frac{a+0}{2}=x,\frac{0+b}{2}=y,\end{cases}$ $\therefore\begin{cases}a=2x,\\b=2y,\end{cases}$
得$4x^{2}+4y^{2}=100$，
即点$M$的轨迹方程为$x^{2}+y^{2}=25$.]