《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

(1)(多选)下列命题中正确的是 (AC)

A.若$p = xa + yb$，则$p$与$a,b$共面
B.若$p$与$a,b$共面，则存在实数$x,y$使得$p = xa + yb$
C.若$\overrightarrow{MP}=x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}$，则$P,M,A,B$共面
D.若$P,M,A,B$共面，则存在实数$x,y$使得$\overrightarrow{MP}=x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}$

答案：
(1)AC [
(1)对于B,若$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$共线,$\boldsymbol{p}$与$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$不共线,则不存在实数$x,y$使得$\boldsymbol{p}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}$,故B错误; 对于D,若M,A,B共线,P在直线AB外,则不存在实数$x,y$使得$\overrightarrow{MP}=x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}$,故D错误; 由平面向量基本定理知A,C正确.]

(2)(2025·南通、如皋诊断)已知$\triangle ABC$的边$BC$的中点为$D$，点$E$在$\triangle ABC$所在平面内，且$\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CE}-2\overrightarrow{CA}$. 若$\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{BE}$，则$x + y=$ (D)

A.5
B.7
C.9
D.11

答案：
(2)D [
(2)$\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CE}-2\overrightarrow{CA}$,D为BC的中点, $\therefore\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}=-\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. $\because\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{BE}$, $\therefore\overrightarrow{BE}=\frac{1}{y}\overrightarrow{AC}-\frac{x}{y}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BE}-\frac{x}{y}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}$, $\therefore\frac{5}{6}\overrightarrow{BC}=(\frac{1}{y}+\frac{2}{3})\overrightarrow{AC}-\frac{x}{y}\overrightarrow{AB}$, 即$\frac{5}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}=(\frac{1}{y}+\frac{2}{3})\overrightarrow{AC}-\frac{x}{y}\overrightarrow{AB}$, 由平面向量基本定理知, $\begin{cases}\frac{5}{6}=\frac{1}{y}+\frac{2}{3},\frac{5}{6}=\frac{x}{y},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5,\\y=6,\end{cases}$$\therefore x+y=11$.]

考点二 平面向量的坐标运算
例 2 (1)(2025·雅安诊断)已知$D,E$分别为$\triangle ABC$的边$AB,AC$的中点，若$\overrightarrow{DE}=(3,4),B(-2,-3)$，则点$C$的坐标为 (A)

A.$(4,5)$
B.$(1,1)$
C.$(-5,-7)$
D.$(-8,-11)$

答案：

(1)A [
(1)因为D,E分别为AB,AC的中点, 所以$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{DE}=(6,8)$, 设$C(x,y)$, 又B(-2,-3), 所以$(x+2,y+3)=(6,8)$, 即$\begin{cases}x+2=6,\\y+3=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=4,\\y=5.\end{cases}$]

(2)如图，在直角梯形$ABCD$中，$AB// DC,AD\perp DC,AD = DC = 2AB$，$E$为$AD$的中点，若$\overrightarrow{CA}=\lambda\overrightarrow{CE}+\mu\overrightarrow{DB}(\lambda,\mu\in\mathbf{R})$，则$\lambda + \mu$的值为____.

答案：

(2)$\frac{8}{5}$ [
(2)建立如图所示的平面直角坐标系,则$D(0,0)$. 不妨设$AB=1$, 则$CD=AD=2$, $\therefore C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1)$, $\therefore\overrightarrow{CA}=(-2,2)$, $\overrightarrow{CE}=(-2,1),\overrightarrow{DB}=(1,2)$, $\because\overrightarrow{CA}=\lambda\overrightarrow{CE}+\mu\overrightarrow{DB}$, $\therefore(-2,2)=\lambda(-2,1)+\mu(1,2)$, $\therefore\begin{cases}-2\lambda+\mu=-2,\\\lambda+2\mu=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}\lambda=\frac{6}{5},\\\mu=\frac{2}{5},\end{cases}$ 故$\lambda+\mu=\frac{8}{5}$.]

(1)(多选)(2025·亳州调研)已知向量$a,b,c$满足$c=\lambda a+(1-\lambda)b(0\lt\lambda\lt1)$，且$c=(1,2)$，则$a,b$的坐标可以为 (BC)

A.$a=(1,0),b=(0,2)$
B.$a=(2,0),b=(0,4)$
C.$a=(3,1),b=(-1,3)$
D.$a=(2,1),b=(4,-1)$

答案：
(1)BC [
(1)设$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$,O为坐标原点, 则由$\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+(1-\lambda)\boldsymbol{b}(0＜\lambda＜1)$可知,A,B,C三点共线,且C在A,B两点之间. 选项A,$\overrightarrow{AB}=(-1,2),\overrightarrow{AC}=(0,2),\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$不平行,A错误; 选项B,$\overrightarrow{AB}=(-2,4),\overrightarrow{AC}=(-1,2),\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$平行,且C在A,B两点之间,B正确; 选项C,$\overrightarrow{AB}=(-4,2),\overrightarrow{AC}=(-2,1),\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$平行,且C在A,B两点之间,C正确; 选项D,$\overrightarrow{AB}=(2,-2),\overrightarrow{AC}=(-1,1),\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$平行,但C不在A,B两点之间,D错误.]

(2)已知向量$a,b,c$在正方形网格中的位置如图所示，用基底$\{a,b\}$表示$c$，则 (D)


A.$c = 2a - 3b$
B.$c = -2a - 3b$
C.$c = -3a + 2b$
D.$c = 3a - 2b$

答案：

(2)D [
(2)如图建立平面直角坐标系,设正方形网格的边长为1, 则$A(1,0),B(2,1),C(0,4),D(7,1)$, 所以$\boldsymbol{a}=(1,1),\boldsymbol{b}=(-2,3),\boldsymbol{c}=(7,-3)$, 设向量$\boldsymbol{c}=m\boldsymbol{a}+n\boldsymbol{b}$, 则$\boldsymbol{c}=m\boldsymbol{a}+n\boldsymbol{b}=(m-2n,m+3n)=(7,-3)$, 则$\begin{cases}m-2n=7,\\m+3n=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=3,\\n=-2,\end{cases}$ 所以$\boldsymbol{c}=3\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$.故选D.]

考点三 平面向量共线的坐标表示
角度 1 利用向量共线求参数
例 3 (2025·杭州调研)已知平面向量$a=(2,0),b=(-1,1)$，且$(ma - b)//(a + b)$，则$m=$ (A)

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}$

答案： 例3 A [法一 平面向量$\boldsymbol{a}=(2,0),\boldsymbol{b}=(-1,1)$, 则$m\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(2m,0)-(-1,1)=(2m+1,-1)$, $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(1,1),(m\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})//(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$, 则$(2m+1)×1=1×(-1)$,解得$m=-1$. 法二 $\because\boldsymbol{a}=(2,0),\boldsymbol{b}=(-1,1)$, $\therefore\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$不共线,要使得$(m\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})//(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$, 则只需$\frac{m}{1}=\frac{-1}{1}$,即$m=-1$.]

角度 2 利用向量共线求向量或点的坐标
例 4 在$\triangle ABC$中，已知点$O(0,0),A(0,5),B(4,3),\overrightarrow{OC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$，$AD$与$BC$交于点$M$，则点$M$的坐标为____.

答案： 例4 $(\frac{12}{7},2)$ [因为点$O(0,0),A(0,5),B(4,3)$, 所以点$C(0,\frac{5}{4})$,同理点$D(2,\frac{3}{2})$. 设M的坐标为$(x,y)$, 则$\overrightarrow{AM}=(x,y-5)$,而$\overrightarrow{AD}=(2,-\frac{7}{2})$. 因为A,M,D三点共线,所以$\overrightarrow{AM}$与$\overrightarrow{AD}$共线, 所以$-\frac{7}{2}x-2(y-5)=0$,即$7x+4y=20$. 而$\overrightarrow{CM}=(x,y-\frac{5}{4})$, $\overrightarrow{CB}=(4-0,3-\frac{5}{4})=(4,\frac{7}{4})$, 因为C,M,B三点共线,所以$\overrightarrow{CM}$与$\overrightarrow{CB}$共线, 所以$\frac{7}{4}x-4(y-\frac{5}{4})=0$, 即$7x-16y=-20$. 由$\begin{cases}7x+4y=20,\\7x-16y=-20,\end{cases}$得$\begin{cases}x=\frac{12}{7},\\y=2,\end{cases}$ 所以点M的坐标为$(\frac{12}{7},2)$.]

(1)设点$A(2,0),B(4,2)$，若点$P$在直线$AB$上，且$|\overrightarrow{AB}| = 2|\overrightarrow{AP}|$，则点$P$的坐标为 (C)

A.$(3,1)$
B.$(1,-1)$
C.$(3,1)$或$(1,-1)$
D.$(3,1)$或$(1,1)$

答案：
(1)C [
(1)$\because A(2,0),B(4,2),\therefore\overrightarrow{AB}=(2,2)$. $\because$点P在直线AB上,且$|\overrightarrow{AB}|=2|\overrightarrow{AP}|$, $\therefore\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AP}$或$\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AP}$, 故$\overrightarrow{AP}=(1,1)$或$\overrightarrow{AP}=(-1,-1)$, 故P点坐标为$(3,1)$或$(1,-1)$.]

(2)已知向量$a=(2,1),b=(1,k)$. 若$(a + 2b)// ka$，则实数$k=$____.

答案：
(2)0 或$\frac{1}{2}$ [
(2)$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}=(4,1+2k),k\boldsymbol{a}=(2k,k)$, 若$(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})// k\boldsymbol{a}$,则$(1+2k)\cdot2k-4k=0$, 解得$k=0$或$k=\frac{1}{2}$.]