《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

已知函数$f(x) = x^2 + (2a - 1)x - 3$。
(1)当$a = 2$，$x \in [-2, 3]$时，求函数$f(x)$的值域；解 (1)当$a = 2$时，$f(x)=x^{2}+3x - 3$，$x \in [-2,3]$，函数图象的对称轴为直线$x = -\frac{3}{2} \in [-2,3]$，$\therefore f(x)_{\min}=f(-\frac{3}{2})=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}-3 = -\frac{21}{4}$，$f(x)_{\max}=f(3)=15$，$\therefore f(x)$的值域为$[-\frac{21}{4},15]$.
(2)若函数$f(x)$在$[-1, 3]$上的最大值为$1$，求实数$a$的值。(2)函数图象的对称轴为直线$x = -\frac{2a - 1}{2}$①当$-\frac{2a - 1}{2} \leq 1$，即$a \geq -\frac{1}{2}$时，$f(x)_{\max}=f(3)=6a + 3$，$\therefore 6a + 3 = 1$，即$a = -\frac{1}{3}$，满足题意；②当$-\frac{2a - 1}{2}＞1$，即$a＜-\frac{1}{2}$时，$f(x)_{\max}=f(-1)= -2a - 1$，$\therefore -2a - 1 = 1$，即$a = -1$，满足题意.综上可知，$a = -\frac{1}{3}$或$-1$.

答案： 训练3 解
(1)当$a = 2$时，$f(x)=x^{2}+3x - 3$，$x \in [-2,3]$，函数图象的对称轴为直线$x = -\frac{3}{2} \in [-2,3]$，$\therefore f(x)_{\min}=f(-\frac{3}{2})=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}-3 = -\frac{21}{4}$，$f(x)_{\max}=f(3)=15$，$\therefore f(x)$的值域为$[-\frac{21}{4},15]$.
(2)函数图象的对称轴为直线$x = -\frac{2a - 1}{2}$①当$-\frac{2a - 1}{2} \leq 1$，即$a \geq -\frac{1}{2}$时，$f(x)_{\max}=f(3)=6a + 3$，$\therefore 6a + 3 = 1$，即$a = -\frac{1}{3}$，满足题意；②当$-\frac{2a - 1}{2}＞1$，即$a＜-\frac{1}{2}$时，$f(x)_{\max}=f(-1)= -2a - 1$，$\therefore -2a - 1 = 1$，即$a = -1$，满足题意.综上可知，$a = -\frac{1}{3}$或$-1$.

2. 三个“二次”间的关系

答案： 2.$\{x|x＞x_2$,或$x＜x_1\}$ $\{x|x\neq-\frac{b}{2a}\}$ $\mathbf{R}$
$\{x|x_1＜x＜x_2\}$ $\varnothing$ $\varnothing$

3. $(x - a)(x - b) ＞ 0$或$(x - a)(x - b) ＜ 0$型不等式的解集

答案： 3.$\{x|x\neq a\}$ $\{x|x＜b$,或$x＞a\}$ $\varnothing$ $\{x|b＜x＜a\}$