《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

(1)已知$f(\sqrt {x}+1)=x + 2\sqrt {x}$，则$f(x)$的解析式为f(x)=x² - 1(x≥1).

答案： 训练2
(1)$f(x)=x^{2}-1(x\geq1)$
(2)$x + 1$ [
(1)法一(换元法) 令$\sqrt{x}+1=t$，则$x=(t - 1)^{2}$，$t\geq1$，所以$f(t)=(t - 1)^{2}+2(t - 1)=t^{2}-1(t\geq1)$，所以函数$f(x)$的解析式为$f(x)=x^{2}-1(x\geq1)$.法二(配凑法) $f(\sqrt{x}+1)=x + 2\sqrt{x}=x + 2\sqrt{x}+1 - 1=(\sqrt{x}+1)^{2}-1$.因为$\sqrt{x}+1\geq1$，所以函数$f(x)$的解析式为$f(x)=x^{2}-1(x\geq1)$.
(2)由题意知$3f(x)-f(2 - x)=4x$， ① 用$2 - x$代替$x$，得$3f(2 - x)-f(x)=8 - 4x$， ② 由①②可得$f(x)=x + 1$.]

(2)已知函数$f(x)$对任意$x$满足$3f(x)-f(2 - x)=4x$，则$f(x)=$______.

答案： 训练2
(1)$f(x)=x^{2}-1(x\geq1)$
(2)$x + 1$ [
(1)法一(换元法) 令$\sqrt{x}+1=t$，则$x=(t - 1)^{2}$，$t\geq1$，所以$f(t)=(t - 1)^{2}+2(t - 1)=t^{2}-1(t\geq1)$，所以函数$f(x)$的解析式为$f(x)=x^{2}-1(x\geq1)$.法二(配凑法) $f(\sqrt{x}+1)=x + 2\sqrt{x}=x + 2\sqrt{x}+1 - 1=(\sqrt{x}+1)^{2}-1$.因为$\sqrt{x}+1\geq1$，所以函数$f(x)$的解析式为$f(x)=x^{2}-1(x\geq1)$.
(2)由题意知$3f(x)-f(2 - x)=4x$， ① 用$2 - x$代替$x$，得$3f(2 - x)-f(x)=8 - 4x$， ② 由①②可得$f(x)=x + 1$.]

例3 (2025·武汉调研)已知$f(x)=\begin{cases}\sqrt {x},0\leqslant x\leqslant 1,\\2f(x - 1),x＞1,\end{cases}$则$f(\frac {5}{4})=$(D)

A.$2$
B.$\frac {\sqrt {5}}{2}$
C.$\frac {3}{2}$
D.1函数$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x},0\leq x\leq1,\\2f(x - 1),x＞1\end{cases}$所以$f(\frac{5}{4})=2f(\frac{1}{4})=2×\sqrt{\frac{1}{4}}=1.$

答案： 例3 D [函数$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x},0\leq x\leq1,\\2f(x - 1),x＞1\end{cases}$所以$f(\frac{5}{4})=2f(\frac{1}{4})=2×\sqrt{\frac{1}{4}}=1.]$

例4 (1)已知函数$f(x)=\begin{cases}1 - a\cdot 2^{x},x\leqslant 0,\\f(x - 1)-f(x - 2),x＞0,\end{cases}$若$f(2030)=1$，则实数$a$的值为(D)

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$4$

答案：
例4
(1)D
(2)B [
(1)因为当x＞0时，f(x)=f(x - 1)-f(x - 2)，所以f(x + 1)=f(x)-f(x - 1)，f(x + 1)= - f(x - 2)，即f(x + 3)= - f(x)，f(x + 6)= - f(x + 3)=f(x)，所以$f(2030)=f(338×6 + 2)=f(2)= - f(-1)=\frac{a}{2}-1 = 1，$则a = 4.
(2)法一 当$x\leq - 1$时，$x + 1\leq0，$$2x\leq - 2，$f(x + 1)=1，f(2x)=1，则f(2x)＞f(x + 1)不成立；当-1＜x\leq0时，x + 1＞0，$2x\leq0，$$f(x + 1)=3^{x + 1}，$f(2x)=1，由f(2x)＞f(x + 1)，得$3^{x + 1}$＜1=3^{0}，则x＜ - 1，与-1＜x\leq0矛盾，舍去；当x＞0时，x + 1＞1，2x＞0，$f(x + 1)=3^{x + 1}，$$f(2x)=3^{2x}，$由f(2x)＞f(x + 1)，得$3^{2x}＞3^{x + 1}，$则2x＞x + 1，得x＞1.综上，满足f(2x)＞f(x + 1)的x的取值范围是$(1,+\infty).$法二 画出f(x)的大致图象，如图所示 若f(2x)＞f(x + 1)，则2x＞0＞x + 1或2x＞x + 1＞0，解得x＞1.]

(2)(2025·包头调研)设函数$f(x)=\begin{cases}1,x\leqslant 0,\\3^{x},x＞0,\end{cases}$则满足$f(2x)＞f(x + 1)$的$x$的取值范围是(B)

A.$(-1,0)$
B.$(1,+∞)$
C.$(0,1)$
D.$(-1,1)$当$x\leq - 1$时，$x + 1\leq0$，$2x\leq - 2$，$f(x + 1)=1$，$f(2x)=1$，则$f(2x)＞f(x + 1)$不成立；当$-1＜x\leq0$时，$x + 1＞0$，$2x\leq0$，$f(x + 1)=3^{x + 1}$，$f(2x)=1$，由$f(2x)＞f(x + 1)$，得$3^{x + 1}＜1=3^{0}$，则$x＜ - 1$，与$-1＜x\leq0$矛盾，舍去；当$x＞0$时，$x + 1＞1$，$2x＞0$，$f(x + 1)=3^{x + 1}$，$f(2x)=3^{2x}$，由$f(2x)＞f(x + 1)$，得$3^{2x}＞3^{x + 1}$，则$2x＞x + 1$，得$x＞1$.综上，满足$f(2x)＞f(x + 1)$的$x$的取值范围是$(1,+\infty)$.

答案：
例4
(1)D
(2)B [
(1)因为当x＞0时，f(x)=f(x - 1)-f(x - 2)，所以f(x + 1)=f(x)-f(x - 1)，f(x + 1)= - f(x - 2)，即f(x + 3)= - f(x)，f(x + 6)= - f(x + 3)=f(x)，所以$f(2030)=f(338×6 + 2)=f(2)= - f(-1)=\frac{a}{2}-1 = 1，$则a = 4.
(2)法一 当$x\leq - 1$时，$x + 1\leq0，$$2x\leq - 2，$f(x + 1)=1，f(2x)=1，则f(2x)＞f(x + 1)不成立；当-1＜x\leq0时，x + 1＞0，$2x\leq0，$$f(x + 1)=3^{x + 1}，$f(2x)=1，由f(2x)＞f(x + 1)，得$3^{x + 1}$＜1=3^{0}，则x＜ - 1，与-1＜x\leq0矛盾，舍去；当x＞0时，x + 1＞1，2x＞0，$f(x + 1)=3^{x + 1}，$$f(2x)=3^{2x}，$由f(2x)＞f(x + 1)，得$3^{2x}＞3^{x + 1}，$则2x＞x + 1，得x＞1.综上，满足f(2x)＞f(x + 1)的x的取值范围是$(1,+\infty).$法二 画出f(x)的大致图象，如图所示 若f(2x)＞f(x + 1)，则2x＞0＞x + 1或2x＞x + 1＞0，解得x＞1.]

(1)(2025·连云港模拟)已知函数$f(x)=\begin{cases}\log_{2}x,x＞0,\\2^{x},x\leqslant 0,\end{cases}$若$f(a)=1$，则$a =$0或2.

答案： 训练3
(1)0或2
(2)3 $(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$ [
(1)当$a＞0$时，$\log_{2}a = 1$，解得$a = 2$；当$a\leq0$时，$2^{a}=1$，解得$a = 0$.所以$a = 0$或2.
(2)因为$f(x)=\begin{cases}x^{2}+1,x\leq0,\\3,x＞0\end{cases}$所以$f(-1)=(-1)^{2}+1 = 2$，所以$f(f(-1))=f(2)=3$.当$x\leq0$时，$f(x)=x^{2}+1＞2$，则$x^{2}＞1$，解得$x＜-1$；当$x＞0$时，$f(x)=3＞2$恒成立，所以不等式$f(x)＞2$的解集是$(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$.]

(2)若函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}+1,x\leqslant 0,\\3,x＞0,\end{cases}$则$f(f(-1))=$______，不等式$f(x)＞2$的解集是______.
提醒：课后完成《一轮对点$91$练》$A$本对点练$7$

答案： 训练3
(1)0或2
(2)3 $(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$ [
(1)当$a＞0$时，$\log_{2}a = 1$，解得$a = 2$；当$a\leq0$时，$2^{a}=1$，解得$a = 0$.所以$a = 0$或2.
(2)因为$f(x)=\begin{cases}x^{2}+1,x\leq0,\\3,x＞0\end{cases}$所以$f(-1)=(-1)^{2}+1 = 2$，所以$f(f(-1))=f(2)=3$.当$x\leq0$时，$f(x)=x^{2}+1＞2$，则$x^{2}＞1$，解得$x＜-1$；当$x＞0$时，$f(x)=3＞2$恒成立，所以不等式$f(x)＞2$的解集是$(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$.]