《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例 1 (2025·南通、连云港联考)已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，对任意 $ x \in \mathbf{R} $，有 $ f'(x) - f(x) ＞ 0 $，则“$ x ＜ 2 $”是“$ \mathrm{e}^{2x - 3}f(x + 1) ＞ \mathrm{e}^{x + 1}f(2x - 3) $”的（ ）

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分又不必要条件
D.充要条件A

答案： 例1 A [因为 $f'(x) - f(x) ＞ 0$，所以 $\frac{f'(x) - f(x)}{e^x} ＞ 0$。令 $g(x) = \frac{f(x)}{e^x}$，则 $g'(x) = \frac{f'(x) - f(x)}{e^x} ＞ 0$，所以 $g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增.$e^{2x - 3}f(x + 1) ＞ e^{x + 1}f(2x - 3)$$\Leftrightarrow \frac{f(x + 1)}{e^{x + 1}} ＞ \frac{f(2x - 3)}{e^{2x - 3}}$$\Leftrightarrow g(x + 1) ＞ g(2x - 3)$$\Leftrightarrow x + 1 ＞ 2x - 3 \Leftrightarrow x ＜ 4$，所以“$x ＜ 2$”是“$e^{2x - 3}f(x + 1) ＞ e^{x + 1}f(2x - 3)$”的充分不必要条件，故选 A.]

例 2 (多选)(2025·六安质检)已知函数 $ f(x) $ 的导函数为 $ f'(x) $，对任意的正数 $ x $，都满足 $ f(x) ＜ xf'(x) ＜ 2f(x) - 2x $，则下列结论正确的是（ ）

A.$ f(1) ＜ 2f\left(\frac{1}{2}\right) $
B.$ f(1) ＜ \frac{1}{2}f(2) $
C.$ f(1) ＜ 4f\left(\frac{1}{2}\right) - 2 $
D.$ f(1) ＜ \frac{1}{4}f(2) + 1 $

答案： 例2 BC [设 $g(x) = \frac{f(x)}{x}(x ＞ 0)$，则 $g'(x) = \frac{xf'(x) - f(x)}{x^2} ＞ 0$，所以 $g(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，由 $g(1) ＞ g(\frac{1}{2})$ 得 $f(1) ＞ 2f(\frac{1}{2})$，故 A 错误；由 $g(1) ＜ g(2)$ 得 $f(1) ＜ \frac{1}{2}f(2)$，故 B 正确；设 $h(x) = \frac{f(x) - 2x}{x^2}(x ＞ 0)$，则 $h'(x) = \frac{(f'(x) - 2)x^2 - (f(x) - 2x) \cdot 2x}{x^4}$$= \frac{xf'(x) - (2f(x) - 2x)}{x^3} ＜ 0$，所以 $h(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减.由 $h(1) ＜ h(\frac{1}{2})$ 得 $f(1) ＜ 4f(\frac{1}{2}) - 2$，故 C 正确；由 $h(1) ＞ h(2)$ 得 $f(1) ＞ \frac{1}{4}f(2) + 1$，故 D 错误.]

例 3 (多选)(2025·长沙调研)已知函数 $ y = f(x) $ 对任意 $ x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $ 满足 $ f'(x)\cos x + f(x)\sin x ＞ 0 $(其中 $ f'(x) $ 是函数 $ f(x) $ 的导函数)，则下列不等式成立的是(BD)

A.$ f(0) ＞ \sqrt{2}f\left(\frac{\pi}{4}\right) $
B.$ \sqrt{2}f\left(\frac{\pi}{3}\right) ＞ f\left(\frac{\pi}{4}\right) $
C.$ f(0) ＞ 2f\left(\frac{\pi}{3}\right) $
D.$ \sqrt{2}f\left(-\frac{\pi}{3}\right) ＜ f\left(-\frac{\pi}{4}\right) $

答案： 例3 BD [构造函数 $F(x) = \frac{f(x)}{\cos x}$，依题意当 $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 时，$F'(x) = \frac{f'(x)\cos x + f(x)\sin x}{\cos^2 x} ＞ 0$，故函数 $F(x)$ 在 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 上单调递增.由 $F(0) ＜ F(\frac{\pi}{4})$ 得 $\frac{f(0)}{\cos 0} ＜ \frac{f(\frac{\pi}{4})}{\cos \frac{\pi}{4}}$即 $f(0) ＜ \sqrt{2}f(\frac{\pi}{4})$，排除 A；由 $F(\frac{\pi}{3}) ＞ F(\frac{\pi}{4})$ 得 $\frac{f(\frac{\pi}{3})}{\cos \frac{\pi}{3}} ＞ \frac{f(\frac{\pi}{4})}{\cos \frac{\pi}{4}}$即 $\sqrt{2}f(\frac{\pi}{3}) ＞ f(\frac{\pi}{4})$，B 正确；由 $F(0) ＜ F(\frac{\pi}{3})$ 得 $\frac{f(0)}{\cos 0} ＜ \frac{f(\frac{\pi}{3})}{\cos \frac{\pi}{3}}$即 $f(0) ＜ 2f(\frac{\pi}{3})$，排除 C；由 $F(-\frac{\pi}{3}) ＜ F(-\frac{\pi}{4})$ 得 $\frac{f(-\frac{\pi}{3})}{\cos (-\frac{\pi}{3})} ＜ \frac{f(-\frac{\pi}{4})}{\cos (-\frac{\pi}{4})}$即 $\sqrt{2}f(-\frac{\pi}{3}) ＜ f(-\frac{\pi}{4})$，D 正确.]