《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 平面向量的基本定理

答案： 1.不共线向量 $\lambda_1\boldsymbol{e}_1+\lambda_2\boldsymbol{e}_2$ 不共线

2. 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量作正交分解.

答案： 2.互相垂直

3. 平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设$a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)$，则
$a + b=$$(x_1+x_2,y_1+y_2)$，$a - b=$$(x_1-x_2,y_1-y_2)$，
$\lambda a=$$(\lambda x_1,\lambda y_1)$，$|a|=$$\sqrt{x_1^2+y_1^2}$.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则$\overrightarrow{AB}=$$(x_2-x_1,y_2-y_1)$，$|\overrightarrow{AB}|=$$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.

答案： 3.
(1)$(x_1+x_2,y_1+y_2)$ $(x_1-x_2,y_1-y_2)$ $(\lambda x_1,\lambda y_1)$ $\sqrt{x_1^2+y_1^2}$
(2)②$(x_2-x_1,y_2-y_1)$ $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

4. 平面向量共线的坐标表示
设$a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)$，向量$a,b(b\neq0)$共线的充要条件是$x_1y_2-x_2y_1=0$.

答案： 4.$x_1y_2-x_2y_1=0$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)设$a,b$是平面内的一个基底，若实数$\lambda_1,\mu_1,\lambda_2,\mu_2$满足$\lambda_1a+\mu_1b=\lambda_2a+\mu_2b$，则$\lambda_1=\lambda_2,\mu_1=\mu_2$. (√)
(2)若$a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)$，则$a// b$的充要条件可以表示成$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$. (×)
(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变. (√)

答案： 1.
(1)√　
(2)×　
(3)√　[
(2)若 $\boldsymbol{b}=(0,0)$,则$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$无意义.]

2. (人教 A 必修二 P31 例 7 改编)已知$a=(4,2),b=(6,y)$，且$a// b$，则$y=$3.

答案： 2.3 [因为 $\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$,所以 $4y-2×6=0$,解得 $y=3$.]

3. (人教 B 必修二 P170 例 5 改编)已知平行四边形$ABCD$的顶点$A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6)$，则顶点$D$的坐标为(1,5).

答案： 3.(1,5) [设 $D(x,y)$,则 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, 得 $(3-(-1),-1-(-2))=(4,1)=(5-x,6-y)$, 即$\begin{cases}4=5-x,\\1=6-y,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=1,\\y=5,\end{cases}$即 $D(1,5)$.]

4. (北师大必修二 P100 例 1 改编)如图，在$□ ABCD$中，点$E,F$分别为$BC,DC$的中点，$\overrightarrow{AB}=a,\overrightarrow{AD}=b$，则$\overrightarrow{BF}=$$\boldsymbol{b}-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{DE}=$$\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$(用$a,b$表示).

答案： 4.$\boldsymbol{b}-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}$ $\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$ [根据题意,得 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{CF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}$, 所以$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}=\boldsymbol{b}-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}$. 同理$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$.]

考点一 平面向量基本定理的应用
例 1 (1)(2025·漳州质检)在$\triangle ABC$中，$D$是边$BC$上一点，且$BD = 2DC$，$E$是$AC$的中点，记$\overrightarrow{AC}=m,\overrightarrow{AD}=n$，则$\overrightarrow{BE}=$ (D)

A.$\frac{5}{3}n - 3m$
B.$\frac{7}{2}n - 3m$
C.$\frac{7}{2}m - 3n$
D.$\frac{5}{2}m - 3n$

答案：

(1)D [
(1)$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$ $=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})$ $=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{CD}$ $=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-3(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})$ $=\frac{5}{2}\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AD}=\frac{5}{2}\boldsymbol{m}-3\boldsymbol{n}$.]

(2)(2025·河南名校检测)在$\triangle ABC$中，$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{EC},\overrightarrow{BF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$，点$P$为$AE$与$BF$的交点，$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，则$\lambda - \mu=$$\frac{1}{4}$.

答案：
(2)$\frac{1}{4}$ [
(2)因为$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$, 所以F为AC的中点, 由B,P,F三点共线, 可设$\overrightarrow{BP}=k\overrightarrow{BF}(0＜k＜1)$, 即$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}=k(\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AB})$, 整理得$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AF}+(1-k)\overrightarrow{AB}$ $=(1-k)\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}k\overrightarrow{AC}$. 因为$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{EC}$, 所以$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}$, 即$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$. 由A,P,E三点共线, 可得$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AE}=m(\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB})$ $=\frac{1}{3}m\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}m\overrightarrow{AB}(0＜m＜1)$, 所以$\begin{cases}\frac{2m}{3}=1-k,\frac{m}{3}=\frac{1}{2}k,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\m=\frac{3}{4},\end{cases}$ 可得$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$, 则$\lambda=\frac{1}{2},\mu=\frac{1}{4},\lambda-\mu=\frac{1}{4}$.]