《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例4 (1)(2025·漯河检测)已知一个圆柱底面半径为$2$，高为$3$，上底面的同心圆半径为$1$，以这个圆面为上底面，圆柱下底面为下底面的圆台被挖去，剩余几何体的表面积为(15 + 3$\sqrt{10}$)π.

答案：
(2)34√3 + 8
(2)正三棱柱的侧面积为2×2×2 = 8(dm²)，
底面积为2×$\frac{1}{2}$×2×2×sin60° = 2√3(dm²).
正四棱台中，侧面梯形的高为$\sqrt{4² - (\frac{6 - 2}{2})²}$ = 2√3(dm)，
所以正四棱台的侧面积为4×$\frac{(2 + 6)×2\sqrt{3}}{2}$ = 32√3(dm²).
所以该结构的表面积为8 + 2√3 + 32√3 = (34√3 + 8)(dm²).]

(2)(2024·兰州诊断)攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，兰州市著名景点三台阁(如图1)的屋顶部分是典型的攒尖结构.如图2所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底边、下底边、侧棱的长度(单位：$dm$)分别为$2$，$6$，$4$，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的表面积为______$dm^2$.

答案： $16 + 32\sqrt{3}$

例5 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为$\sqrt{3}$，则圆锥的体积为 (B)

A.$2\sqrt{3}\pi$
B.$3\sqrt{3}\pi$
C.$6\sqrt{3}\pi$
D.$9\sqrt{3}\pi$

答案： 例5　
(1)B　[
(1)设圆柱和圆锥的底面半径均为r，
因为它们的高均为√3，且侧面积相等，所以2πr×√3 = πr$\sqrt{(\sqrt{3})² + r²}$，得r² = 9，
所以圆锥的体积V = $\frac{1}{3}$πr²×√3 = 3√3π，故选B.]

(2)(2024·天津卷)一个五面体$ABC - DEF$.已知$AD// BE// CF$，且两两之间距离为$1$，$AD = 1$，$BE = 2$，$CF = 3$，则该五面体的体积为 (C)


A.$\frac{\sqrt{3}}{6}$
B.$\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}$

答案：
(2)C　
(2)因为AD,BE,CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以看作底面边长为1的正三棱柱的一部分，然后分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，如图，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，
故该五面体的体积V = $\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×1 + $\frac{1}{3}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，故选C.]

(3)(2025·南昌模拟)如图，在直三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$中，$AB = AC = AA_1 = 2$，$\angle BAC = \frac{\pi}{2}$，点$P$，$E$分别为棱$A_1C_1$，$AA_1$上的动点(不包括端点)，若$AE = A_1P$，则三棱锥$B_1 - A_1PE$的体积的最大值为 (D)


A.$\frac{1}{24}$
B.$\frac{1}{12}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{3}$

答案：
(3)D　
(3)在直三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
故A₁E为三棱锥E - A₁B₁P的高，
设AE = A₁P = t，t∈(0,2)，则A₁E = 2 - t，
由∠BAC = $\frac{\pi}{2}$，得AB⊥AC，
故A₁B₁⊥A₁C₁，
则S_{△A₁B₁P} = $\frac{1}{2}$A₁P×A₁B₁ = t，
故V_{B₁ - A₁PE} = V_{E - A₁B₁P} = $\frac{1}{3}$S_{△A₁B₁P}·A₁E
= $\frac{1}{3}$t(2 - t) = -$\frac{1}{3}$(t - 1)² + $\frac{1}{3}$，
故当t = 1时，三棱锥B₁ - A₁PE的体积取最大值$\frac{1}{3}$.

(2025·黑龙江名校联盟模拟)若正四棱柱$ABCD - A_1B_1C_1D_1$与以正方形$ABCD$的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为 (B)

A.$\frac{\pi}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}\pi$
D.$2\pi$

答案： 训练2　B　[依题意，设正四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁的底面边长为a，高为h₁，
圆柱的高为h₂，则圆柱的底面半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
则有a²h₁ = π($\frac{\sqrt{2}}{2}$a)²h₂，整理得$\frac{h₁}{h₂}$ = $\frac{\pi}{2}$.
正四棱柱与圆柱的侧面积之比为$\frac{4ah₁}{2\pi×\frac{\sqrt{2}}{2}a×h₂}$ = √2.]