《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) 直线的方向向量是唯一确定的。(×)
(2) 若直线 $a$ 的方向向量和平面 $\alpha$ 的法向量平行，则 $a//\alpha$。(×)
(3) 若 $\{a,b,c\}$ 是空间的一个基底，则 $a,b,c$ 中至多有一个零向量。(×)
(4) 若 $a\cdot b\lt 0$，则 $\langle a,b\rangle$ 是钝角。(×)
(5) 若两平面的法向量平行，则不重合的两平面平行。(√)

答案： 1.
(1)$×$　
(2)$×$　
(3)$×$　
(4)$×$　
(5)$\surd$ [
(1)直线的方向向量不是唯一的，有无数个.
(2)$a\perp a$.
(3)若$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$中有一个是$0$，则$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$共面，不能构成空间一个基底.
(4)若$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = \pi$，则$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} ＜ 0$，故
(4)不正确.]

2. (人教 A 选修一 P12 例 1 改编)
如图，$M$ 是四面体 $OABC$ 的棱 $BC$ 的中点，点 $N$ 在线段 $OM$ 上，点 $P$ 在线段 $AN$ 上，且 $MN=\frac{1}{2}ON$，$AP=\frac{3}{4}AN$，则 $\overrightarrow{OP}=$$\frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OC}$(用向量 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ 表示)。

答案： 2.$\frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OC}$ $[\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP} =\overrightarrow{OA} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{OA} + \frac{3}{4}(\overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OA}) =\overrightarrow{OA} + \frac{3}{4}\overrightarrow{ON} - \frac{3}{4}\overrightarrow{OA} =\frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{4}(\frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC}) =\frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OC}$.]

3. (苏教选修一 P27T9 改编)已知 $a=(2,-1,3)$，$b=(-4,2,x)$，且 $a\perp b$，则 $x=$$\frac{10}{3}$。

答案： 3.$\frac{10}{3}$ [因为$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，所以$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = - 8 - 2 + 3x = 0$，解得$x = \frac{10}{3}$.]

4. (北师大选修一 P106T8 改编)如图，已知 $PA\perp$ 平面 $ABC$，垂足为 $A$，$\angle ABC=\frac{2\pi}{3}$，$PA=AB=BC=6$，则 $|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|=$12。

答案： 4.12 [因为$|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}|^{2} = \overrightarrow{PA}^{2} + \overrightarrow{AB}^{2} + \overrightarrow{BC}^{2} + 2\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} =|\overrightarrow{PA}|^{2} + |\overrightarrow{AB}|^{2} + |\overrightarrow{BC}|^{2} + 2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\rangle = 6^{2} + 6^{2} + 6^{2} + 2 × 6 × 6 × \frac{1}{2} = 4 × 6^{2}$，所以$|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}| = 12$.]

考点一 空间向量的线性运算及共线、共面定理
例 1 (1) 已知四面体 $O - ABC$，$G_1$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，$G$ 是 $OG_1$ 上一点，且 $OG = 3GG_1$，若 $\overrightarrow{OG}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$，则 $(x,y,z)$ 为(A)

A.$(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4})$
B.$(\frac{3}{4},\frac{3}{4},\frac{3}{4})$
C.$(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$
D.$(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})$

答案：
例1
(1)A [
(1)法一 如图所示，连接$AG_{1}$并延长，交$BC$于点$E$，则点$E$为$BC$的中点，$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} - 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC})$，则$\overrightarrow{AG_{1}} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OB} - 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC})$，由题设，$\overrightarrow{OG} = 3\overrightarrow{GG_{1}} = 3(\overrightarrow{OG_{1}} - \overrightarrow{OG})$，则$\overrightarrow{OG} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OG_{1}} = \frac{3}{4}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AG_{1}})=\frac{3}{4}(\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC})=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$.所以$x = y = z = \frac{1}{4}$.法二 因为$G_{1}$是$\triangle ABC$的重心，所以$\overrightarrow{G_{1}A} + \overrightarrow{G_{1}B} + \overrightarrow{G_{1}C} = 0$，所以$\overrightarrow{G_{1}O} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{G_{1}O} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{G_{1}O} + \overrightarrow{OC} = 0$，从而$\overrightarrow{OG_{1}} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$.因为$G$是$\overrightarrow{OG_{1}}$上一点，且$\overrightarrow{OG} = 3\overrightarrow{GG_{1}}$，所以$\overrightarrow{OG} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OG_{1}}$，从而$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$，所以$x = y = z = \frac{1}{4}$.　　　　　　　　　　 ]

(2) (多选) 下列说法中正确的是(CD)

A.$|a|-|b|=|a + b|$ 是 $a,b$ 共线的充要条件
B.若 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ 共线，则 $AB// CD$
C.$A,B,C$ 三点不共线，对空间任意一点 $O$，若 $\overrightarrow{OP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{8}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{8}\overrightarrow{OC}$，则 $P,A,B,C$ 四点共面
D.若 $P,A,B,C$ 为空间四点，且有 $\overrightarrow{PA}=\lambda\overrightarrow{PB}+\mu\overrightarrow{PC}(\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}$ 不共线)，则 $\lambda + \mu = 1$ 是 $A,B,C$ 三点共线的充要条件

答案：
(2)CD [
(2)由$|\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|$，可得向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的方向相反，此时向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$共线，反之，当向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$同向时，不能得到$|\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|$，所以A不正确；若$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$共线，则$AB// CD$或$A,B,C,D$四点共线，所以B不正确；由$A,B,C$三点不共线，对空间任意一点$O$，若$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{8}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{8}\overrightarrow{OC}$，因为$\frac{3}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = 1$，可得$P,A,B,C$四点共面，所以C正确；若$P,A,B,C$为空间四点，且有$\overrightarrow{PA} = \lambda\overrightarrow{PB} + \mu\overrightarrow{PC}(\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}$不共线$)$，当$\lambda + \mu = 1$时，即$\mu = 1 - \lambda$，可得$\overrightarrow{PA} - \overrightarrow{PC} = \lambda(\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC})$，即$\overrightarrow{CA} = \lambda\overrightarrow{CB}$，所以$A,B,C$共线，反之也成立，即$\lambda + \mu = 1$是$A,B,C$三点共线的充要条件，所以D正确.]