《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

考点三 双曲线的几何性质
角度 1 渐近线、离心率
例 3 (1)(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为 $ (0,4),(0,-4) $，点 $ (-6,4) $ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为 (C)

A.$ 4 $
B.$ 3 $
C.$ 2 $
D.$ \sqrt{2} $

答案： 例3
(1)C　[
(1)法一　根据焦点坐标可知$c = 4$，根据焦点在$y$轴上，可设双曲线的方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，则$\begin{cases}\frac{16}{a^{2}}-\frac{36}{b^{2}}=1\\a^{2}+b^{2}=16\end{cases}$，得$\begin{cases}a = 2\\b = 2\sqrt{3}\end{cases}$，所以离心率$e=\frac{c}{a}=2$.法二　根据双曲线的定义，得$2a = |\sqrt{(-6 - 0)^{2}+(4 - 4)^{2}}-\sqrt{(-6 - 0)^{2}+(4 + 4)^{2}}|=|6 - 10| = 4$，根据焦点坐标可知$c = 4$，所以离心率$e=\frac{2c}{2a}=\frac{8}{4}=2$.]

(2)(2022·北京卷)已知双曲线 $ y^2 + \dfrac{x^2}{m} = 1 $ 的渐近线方程为 $ y = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}x $，则 $ m = $____.

答案：
(2)-3 [
(2)法一　依题意得$m ＜ 0$，双曲线的方程化为标准方程为$y^{2}-\frac{x^{2}}{-m}=1$，此时双曲线的渐近线的斜率为$\pm \frac{1}{\sqrt{-m}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$m = -3$.法二　依题意令$y^{2}-\frac{x^{2}}{-m}=0$，得$y = \pm \frac{1}{\sqrt{-m}}x$，则$\pm \frac{1}{\sqrt{-m}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$m = -3$.]

角度 2 几何性质的综合应用
例 4 (1)(多选)(2025·南通调研)已知双曲线 $ C:\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1(b ＞ 0) $ 的右焦点为 $ F $，直线 $ l:x + by = 0 $ 是 $ C $ 的一条渐近线，$ P $ 是 $ l $ 上一点，则 (AD)

A.$ C $ 的虚轴长为 $ 2\sqrt{2} $
B.$ C $ 的离心率为 $ \sqrt{6} $
C.$ |PF| $ 的最小值为 $ 2 $
D.直线 $ PF $ 的斜率不等于 $ -\dfrac{\sqrt{2}}{2} $

答案： 例4
(1)AD　[
(1)已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b＞0)$的渐近线方程为$x = \pm \frac{2}{b}y$，又直线$l:x + by = 0$是$C$的一条渐近线，$\therefore \frac{2}{b}=b$，又$b＞0$，$\therefore b=\sqrt{2}$，故双曲线C的方程为$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$.对于A，C的虚轴长为$2\sqrt{2}$，故A正确；对于B，设双曲线C的半焦距为c，则$c = \sqrt{4 + 2}=\sqrt{6}$，$\therefore$C的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，故B错误；对于C，由已知有$F(\sqrt{6},0)$，$\therefore |PF|$的最小值为$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1^{2}+(\sqrt{2})^{2}}}=\sqrt{2}$，故C错误；对于D，C的两条渐近线的斜率分别为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，当直线PF的斜率等于$-\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$PF// l$，与P在$l$上矛盾，$\therefore$直线PF的斜率不等于$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，故D正确.]

(2)(2025·武汉测试)已知点 $ M(-5,0) $，点 $ P $ 在曲线 $ \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1(x ＞ 0) $ 上运动，点 $ Q $ 在曲线 $ C:(x - 5)^2 + y^2 = 1 $ 上运动，则 $ \dfrac{|PM|^2}{|PQ|} $ 的最小值是____.

答案：

(2)20 [
(2)如图，在双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$中，$a = 3$，$b = 4$，$c = \sqrt{a^{2}+b^{2}}=5$，圆$(x - 5)^{2}+y^{2}=1$的圆心为$C(5,0)$，半径$r = 1$.所以双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点分别为M，C.由双曲线的定义可得$|PM| = |PC| + 2a = |PC| + 6$，$|PQ|\leqslant |PC| + 1$，所以$\frac{|PM|^{2}}{|PQ|}\geqslant \frac{(|PC| + 6)^{2}}{|PC| + 1}=(|PC| + 1)+\frac{25}{|PC| + 1}+10\geqslant 2\sqrt{(|PC| + 1)\cdot \frac{25}{|PC| + 1}}+10 = 20$，当且仅当$|PC| = 4$时，等号成立，故$\frac{|PM|^{2}}{|PQ|}$的最小值是20.　　　　　　　　　　]

(1)(多选)(2025·南昌质检)已知双曲线的方程为 $ \dfrac{y^2}{64} - \dfrac{x^2}{16} = 1 $，则 (BC)

A.渐近线方程为 $ y = \pm \dfrac{1}{2}x $
B.焦距为 $ 8\sqrt{5} $
C.离心率为 $ \dfrac{\sqrt{5}}{2} $
D.焦点到渐近线的距离为 $ 8 $

答案： 训练3
(1)BC　[
(1)由题意，易知双曲线的实半轴长$a = 8$，虚半轴长$b = 4$，半焦距$c =\sqrt{64 + 16}=4\sqrt{5}$，且焦点在$y$轴上，则渐近线方程为$y = \pm \frac{a}{b}x = \pm 2x$，A错误；焦距为$2c = 8\sqrt{5}$，B正确；离心率$e = \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，C正确；焦点到渐近线的距离为4，D错误.]

(2)(2025·重庆联考)已知双曲线 $ E:\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0) $ 的左、右焦点分别为 $ F_1,F_2 $，点 $ P $ 在 $ E $ 上，若 $ |PF_1| + |PF_2| \geqslant 4a - 4b $，则 $ E $ 的离心率的取值范围为 (D)

A.$ (2,+\infty) $
B.$ \left[1,\dfrac{2\sqrt{7} - 2}{3}\right] $
C.$ \left[\dfrac{2\sqrt{7} - 2}{3},2\right) $
D.$ \left[\dfrac{2\sqrt{7} - 2}{3},+\infty\right)$

答案：
(2)D [
(2)不妨设点P在E的右支上，由双曲线的定义可得$|PF_1|-|PF_2| = 2a$，即$|PF_1| = |PF_2| + 2a$，由$|PF_1|+|PF_2|\geqslant 4a - 4b$，可得$2|PF_2| + 2a\geqslant 4a - 4b$，即$|PF_2|\geqslant a - 2b$，而$|PF_2|$的最小值为$c - a$，故$c - a\geqslant a - 2b$，即$2a - c\leqslant 2b$.当$2a - c\leqslant 0$，即$\frac{c}{a}\geqslant 2$时，显然成立；当$2a - c＞0$，即$1＜\frac{c}{a}＜2$时，$(2a - c)^{2}\leqslant 4b^{2}=4c^{2}-4a^{2}$，得$\frac{2\sqrt{7}-2}{3}\leqslant \frac{c}{a}＜2$.综上可知，E的离心率的取值范围为$[\frac{2\sqrt{7}-2}{3},+\infty)$.]