《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

考点一 函数奇偶性的判断
例 1 判断下列函数的奇偶性：
(1) $ f(x) = \sqrt{3 - x^2} + \sqrt{x^2 - 3} $；
(2) $ f(x) = \begin{cases} x^2 + x, x ＜ 0, \\ -x^2 + x, x ＞ 0; \end{cases} $
(3) $ f(x) = \log_2(x + \sqrt{x^2 + 1}) $.解 (1)由$\begin{cases}3 - x^{2} \geq 0\\x^{2} - 3 \geq 0\end{cases}$，得$x^{2}=3$，解得$x = \pm \sqrt{3}$，即函数$f(x)$的定义域为$\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\}$，从而$f(x)=\sqrt{3 - x^{2}} + \sqrt{x^{2} - 3} = 0$。因此$f(-x)=-f(x)$且$f(-x)=f(x)$，所以函数$f(x)$既是奇函数又是偶函数。(2)显然函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0, + \infty)$，关于原点对称。因为当$x＜0$时，$-x＞0$，则$f(-x)=-(-x)^{2}-x=-x^{2}-x=-f(x)$；当$x＞0$时，$-x＜0$，则$f(-x)=(-x)^{2}-x=x^{2}-x=-f(x)$。综上可知，对于定义域内的任意$x$，总有$f(-x)=-f(x)$成立，所以函数$f(x)$为奇函数。(3)显然函数$f(x)$的定义域为R，$f(-x)=\log_{2}[-x + \sqrt{(-x)^{2} + 1}]=\log_{2}(\sqrt{x^{2} + 1} - x)=\log_{2}(\sqrt{x^{2} + 1} + x)^{-1}=-\log_{2}(\sqrt{x^{2} + 1} + x)=-f(x)$，故$f(x)$为奇函数。

答案： 例1 解
(1)由$\begin{cases}3 - x^{2} \geq 0\\x^{2} - 3 \geq 0\end{cases}$，得$x^{2}=3$，解得$x = \pm \sqrt{3}$，即函数$f(x)$的定义域为$\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\}$，从而$f(x)=\sqrt{3 - x^{2}} + \sqrt{x^{2} - 3} = 0$。
因此$f(-x)=-f(x)$且$f(-x)=f(x)$，所以函数$f(x)$既是奇函数又是偶函数。
(2)显然函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0, + \infty)$，关于原点对称。
因为当$x＜0$时，$-x＞0$，则$f(-x)=-(-x)^{2}-x=-x^{2}-x=-f(x)$；当$x＞0$时，$-x＜0$，则$f(-x)=(-x)^{2}-x=x^{2}-x=-f(x)$。
综上可知，对于定义域内的任意$x$，总有$f(-x)=-f(x)$成立，所以函数$f(x)$为奇函数。
(3)显然函数$f(x)$的定义域为R，$f(-x)=\log_{2}[-x + \sqrt{(-x)^{2} + 1}]=\log_{2}(\sqrt{x^{2} + 1} - x)=\log_{2}(\sqrt{x^{2} + 1} + x)^{-1}=-\log_{2}(\sqrt{x^{2} + 1} + x)=-f(x)$，故$f(x)$为奇函数。

(1) (2024·天津卷)下列函数是偶函数的是 (B)

A.$ f(x) = \frac{e^x - x^2}{x^2 + 1} $
B.$ f(x) = \frac{\cos x + x^2}{x^2 + 1} $
C.$ f(x) = \frac{e^x - x}{x + 1} $
D.$ f(x) = \frac{\sin x + 4x}{e^{|x|}} $

答案： 训练1
(1)B [法一 对于A，$f(-x)=\frac{e^{-x}-(-x)^{2}}{(-x)^{2} + 1}=\frac{e^{-x}-x^{2}}{x^{2} + 1}\neq f(x)$，故$f(x)$不是偶函数；
对于B，$f(-x)=\frac{\cos(-x)+(-x)^{2}}{(-x)^{2} + 1}=\frac{\cos x + x^{2}}{x^{2} + 1}=f(x)$，故$f(x)$是偶函数；
对于C，$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq -1\}$，不关于原点对称，故$f(x)$不是偶函数；
对于D，$f(-x)=\frac{\sin(-x)+4(-x)}{e^{|-x|}}=\frac{-\sin x - 4x}{e^{|x|}}=-f(x)$，故$f(x)$是奇函数。故选B。
法二 易知$y = x^{2} + 1$与$y = e^{|x|}$均为偶函数，且恒为正。
对于A，由于$y = e^{x}-x^{2}$是非奇非偶函数，所以$f(x)$也是非奇非偶函数；
对于B，$y = \cos x + x^{2}$是偶函数，所以$f(x)$是偶函数；
对于C，易知$f(x)$的定义域不关于原点对称，所以$f(x)$是非奇非偶函数；
对于D，$y = \sin x + 4x$是奇函数，所以$f(x)$是奇函数，故选B。]

(2) (2025·新乡模拟)已知定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数 $ f(x) $ 满足 $ f(x + y + 1) = f(x) + f(y) $，则下列结论一定正确的是 (B)

A.$ f(x) + 1 $ 是奇函数
B.$ f(x - 1) $ 是奇函数
C.$ f(x) - 1 $ 是奇函数
D.$ f(x + 1) $ 是奇函数

答案：
(2)B [对于B，因为$f(x + y + 1)=f(x)+f(y)$，令$x = y = -1$，可得$f(-1)=f(-1)+f(-1)$，所以$f(-1)=0$。
令$y = -2 - x$，则$f(-1)=f(x)+f(-2 - x)=0$，故$f(x)$的图象关于点$(-1,0)$对称，则$f(x - 1)$的图象关于点$(0,0)$对称，即$f(x - 1)$是奇函数，故B正确；
对于C，法一 令$x = y = 0$，可得$f(1)=f(0)+f(0)$，则$f(0)=\frac{1}{2}f(1)$。
当$f(1)\neq2$时，$f(0)-1\neq0$，此时$f(x)-1$不可能是奇函数，由于无法确定$f(1)$的值，故$f(x)-1$不一定是奇函数。
法二 取$f(x)=-x - 1$，满足$f(x + y + 1)=f(x)+f(y)$，但$f(x)-1=-x - 2$，不是奇函数，故C错误；
对于A，D，取$f(x)=x + 1$，满足$f(x + y + 1)=f(x)+f(y)$，但$f(x)+1=x + 2$与$f(x + 1)=x + 2$都不是奇函数，故A，D错误。]

考点二 函数的奇偶性的应用
角度 1 求解析式（参数或值）
例 2 (1) 已知函数 $ f(x) $ 为奇函数且定义域为 $ \mathbf{R} $，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ f(x) = x + 1 $，则当 $ x ＜ 0 $ 时，$ f(x) =$$x - 1$$$.

答案： 例2
(1)$x - 1$ [
(1)当$x＜0$时，$-x＞0$，$f(x)=-f(-x)=-(-x + 1)=x - 1$。]

(2) （2024·邯郸二模）已知 $ b ＞ 0 $，函数 $ f(x) = \frac{a + 4^{bx}}{2^x} $ 是奇函数，则 $ a = $，$$$-1$$b =$$1$$$.[(2)根据题意，函数$f(x)=\frac{a + 4^{x}}{2^{x}}$是奇函数，其定义域为R，则有$f(0)=0$，$f(1)=-f(-1)$，即$\begin{cases}\frac{a + 4^{0}}{2^{0}} = 0\frac{a + 4^{b}}{2}=-\frac{a + 4^{-b}}{2^{-1}}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = 1\end{cases}$。]

答案：
(2)$a=-1$，$b=1$ [
(2)根据题意，函数$f(x)=\frac{a + 4^{bx}}{2^{x}}$是奇函数，其定义域为R，则有$f(0)=0$，$f(1)=-f(-1)$，即$\begin{cases}\frac{a + 4^{0}}{2^{0}} = 0\frac{a + 4^{b}}{2}=-\frac{a + 4^{-b}}{2^{-1}}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = 1\end{cases}$。当$a = -1$，$b = 1$时，$f(x)=\frac{-1 + 4^{x}}{2^{x}} = 2^{x} - 2^{-x}$，其定义域为R，且$f(-x)=2^{-x}-2^{x}=-f(x)$，即$f(x)$为奇函数，故$a = -1$，$b = 1$。]

角度 2 奇偶性与单调性
例 3 (1) (2025·大连调研)已知函数 $ f(x) $ 是定义在 $[-2,2]$ 上的奇函数，且 $ f(x) $ 在 $[-2,0]$ 上单调递增. 若 $ f(2t - 1) + f(t) ＜ 0 $，则实数 $ t $ 的取值范围为 (D)

A.$ \left(-\infty, \frac{1}{3}\right) $
B.$ \left[0, \frac{1}{3}\right) $
C.$ \left[-2, \frac{1}{3}\right) $
D.$ \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right) $

答案： 例3
(1)D [
(1)因为$f(x)$是定义在$[-2,2]$上的奇函数，且$f(x)$在$[-2,0]$上单调递增，所以$f(x)$在$[-2,2]$上单调递增。
又$f(2t - 1)+f(t)＜0$，则$f(2t - 1)＜-f(t)$，所以$f(2t - 1)＜f(-t)$，因此$\begin{cases}-2\leq2t - 1\leq2\\-2\leq -t\leq2\\2t - 1＜-t\end{cases}$，解得$-\frac{1}{2}\leq t＜\frac{1}{3}$。
故实数$t$的取值范围为$[-\frac{1}{2},\frac{1}{3})$。]

(2) (多选)(2024·合肥调研)已知 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数，$ g(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数，且 $ f(x) $，$ g(x) $ 在 $ (-\infty, 0] $ 上单调递减，则 (BD)

A.$ f(f(1)) ＜ f(f(2)) $
B.$ f(g(1)) ＜ f(g(2)) $
C.$ g(f(1)) ＜ g(f(2)) $
D.$ g(g(1)) ＜ g(g(2))$[(2)因为$f(x)$是定义在R上的偶函数，$g(x)$是定义在R上的奇函数，且两函数在$(-\infty,0]$上单调递减，所以$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，$g(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减，$g(x)$在R上单调递减。]$$所以$f(1)＜f(2)$，$g(0)=0＞g(1)＞g(2)$，所以$f(g(1))＜f(g(2))$，$g(f(1))＞g(f(2))$，$g(g(1))＜g(g(2))$，所以BD正确，C错误。若$|f(1)|＞|f(2)|$，则$f(f(1))＞f(f(2))$，A错误。]

答案：
(2)BD [
(2)因为$f(x)$是定义在R上的偶函数，$g(x)$是定义在R上的奇函数，且两函数在$(-\infty,0]$上单调递减，所以$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，$g(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减，$g(x)$在R上单调递减。
所以$f(1)＜f(2)$，$g(0)=0＞g(1)＞g(2)$，所以$f(g(1))＜f(g(2))$，$g(f(1))＞g(f(2))$，$g(g(1))＜g(g(2))$，所以BD正确，C错误。若$|f(1)|＞|f(2)|$，则$f(f(1))＞f(f(2))$，A错误。]