《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例 1 已知抛物线 $ y^{2} = 2px(p ＞ 0) $，过原点且互相垂直的两直线 $ OA $，$ OB $ 交抛物线于 $ A $，$ B $.求证：直线 $ AB $ 过定点.(2p,0)

答案： 证明　设直线AB的方程为mx+ny=1，与y²=2px联立得y²=2px·(mx+ny)，即2pmx²+2pnxy−y²=0。
同除以x²，化简得$(\frac{y}{x})²−2pn\cdot(\frac{y}{x})−2pm =0$，即k²−2pnk−2pm=0。(*)
设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则k₁=$\frac{y₁}{x₁}$，k₂=$\frac{y₂}{x₂}$为(*)的解。
k₁k₂=−2pm=−1，
∴m=$\frac{1}{2p}$。
直线mx+ny=1可化为$\frac{1}{2p}$x+ny=1，恒过(2p,0)。

二、先平移再齐次化
例2 (2025·杭州模拟节选)设椭圆 $ C $：$\frac{x^{2}}{2}+y^{2} = 1$ 的右焦点为 $ F $，过 $ F $ 的直线 $ l $ 与 $ C $ 交于 $ A $，$ B $ 两点，点 $ M $ 的坐标为 $(2,0)$，设 $ O $ 为坐标原点，证明：$\angle OMA = \angle OMB$.证明　将椭圆左移2个单位，得$\frac{(x + 2)²}{2}+y²=1$，即x²+4x+2y²+2=0。
平移后的直线l：mx+ny=1过点(−1,0)，即−m=1，所以m=−1。
联立$\begin{cases}x²+4x+2y²+2=0\\mx+ny=1\end{cases}$齐次化得x²+4x·(mx+ny)+2y²+2(mx+ny)²=0，即(2+2n²)y²+(4n+4mn)xy+(1+4m+2m²)x²=0。
两边同除以x²，得(2+2n²)$(\frac{y}{x})²+(4n+4mn)\frac{y}{x}+(1+4m+2m²)=0$。
则k₁+k₂=$\frac{4n+4mn}{-(2+2n²)}=0$，所以∠OMA=∠OMB。

答案： 证明　将椭圆左移2个单位，得$\frac{(x + 2)²}{2}+y²=1$，即x²+4x+2y²+2=0。
平移后的直线l：mx+ny=1过点(−1,0)，即−m=1，所以m=−1。
联立$\begin{cases}x²+4x+2y²+2=0\\mx+ny=1\end{cases}$齐次化得x²+4x·(mx+ny)+2y²+2(mx+ny)²=0，即(2+2n²)y²+(4n+4mn)xy+(1+4m+2m²)x²=0。
两边同除以x²，得(2+2n²)$(\frac{y}{x})²+(4n+4mn)\frac{y}{x}+(1+4m+2m²)=0$。
则k₁+k₂=$\frac{4n+4mn}{-(2+2n²)}=0$，所以∠OMA=∠OMB。

训练 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$ 的中心为原点 $ O $，$ P $，$ Q $ 分别在椭圆上，且 $ OP \perp OQ $.求证：$\frac{1}{\vert OP\vert^{2}}+\frac{1}{\vert OQ\vert^{2}}$ 为定值.$\frac{1}{a²}+\frac{1}{b²}$

答案： 证明　设P，Q坐标分别为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，直线PQ：mx+ny=1。
联立方程$\begin{cases}\frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²}=1\\mx+ny=1\end{cases}$，齐次化有$\frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²}=(mx+ny)²$，整理可得$(\frac{1}{b²}-n²)y²-2mnxy+(\frac{1}{a²}-m²)x²=0$。
左右两边同除以x²，即$(\frac{1}{b²}-n²)(\frac{y}{x})²-2mn\frac{y}{x}+\frac{1}{a²}-m²=0$。
由根与系数的关系得$\frac{y₁}{x₁}\cdot\frac{y₂}{x₂}=\frac{\frac{1}{a²}-m²}{\frac{1}{b²}-n²}$。
由OP⊥OQ，得$k_{OP}\cdot k_{OQ}=\frac{y₁}{x₁}\cdot\frac{y₂}{x₂}=\frac{\frac{1}{a²}-m²}{\frac{1}{b²}-n²}=-1$，整理得m²+n²=$\frac{1}{a²}+\frac{1}{b²}$。
由于原点O到直线PQ的距离d=$\frac{1}{\sqrt{m²+n²}}$，又$S_{\triangle OPQ}=\frac{1}{2}|OP|\cdot|OQ|=\frac{1}{2}|PQ|d$，所以$\frac{1}{d²}=\frac{|PQ|²}{|OP||OQ|}=\frac{|OP|²+|OQ|²}{|OP|²\cdot|OQ|²}=\frac{1}{|OP|²}+\frac{1}{|OQ|²}$。
又$\frac{1}{d²}=m²+n²=\frac{1}{a²}+\frac{1}{b²}$，故$\frac{1}{|OP|²}+\frac{1}{|OQ|²}=\frac{1}{a²}+\frac{1}{b²}$，为定值。