《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

典例
(1) 过点 $ A(1,-4) $ 且与直线 $ 2x + 3y + 5 = 0 $ 平行的直线方程为$2x+3y+10=0$.
(2) 经过点 $ A(2,1) $ 且与直线 $ 2x + y - 10 = 0 $ 垂直的直线 $ l $ 的方程为$x-2y=0$.
(3) 已知两条直线 $ l_1:x - 2y + 4 = 0 $ 和 $ l_2:x + y - 2 = 0 $ 的交点为 $ P $，过点 $ P $ 且与直线 $ l_3:3x - 4y + 5 = 0 $ 垂直的直线 $ l $ 的方程为____.

答案： 典例
(1)$2x+3y+10=0$
(2)$x-2y=0$
(3)$4x+3y-6=0$ [
(1)设所求直线方程为$2x+3y+c=0(c\neq5)$，
由题意知$2×1+3×(-4)+c=0$，解得$c=10$，
故所求直线方程为$2x+3y+10=0$.
(2)因为所求直线与直线$2x+y-10=0$垂直，
所以设该直线方程为$x-2y+c=0$.
又直线过点$A(2,1)$，
所以$2-2×1+c=0$，解得$c=0$，
故所求直线方程为$x-2y=0$.
(3)设所求直线$l$的方程为$x-2y+4+\lambda(x+y-2)=0$，
即$(1+\lambda)x+(\lambda-2)y+4-2\lambda=0$.
因为直线$l$与$l_3$垂直，
所以$3(1+\lambda)-4(\lambda-2)=0$，所以$\lambda=11$，
所以直线$l$的方程为$4x+3y-6=0$.]

考点三 对称问题
角度 1 关于点对称
例 3
(1) (2025·宁德质检)直线 $ x - 2y - 3 = 0 $ 关于定点 $ M(-2,1) $ 对称的直线方程是$x-2y+11=0$.
(2) 过点 $ P(0,1) $ 作直线 $ l $，使它被直线 $ l_1:2x + y - 8 = 0 $ 和 $ l_2:x - 3y + 10 = 0 $ 截得的线段被点 $ P $ 平分，则直线 $ l $ 的方程为____.

答案： 例3
(1)$x-2y+11=0$
(2)$x+4y-8=0$
[
(1)设所求直线上任意一点的坐标为$(x,y)$，
则其关于$M(-2,1)$的对称点$(-4-x,2-y)$在已知直线上，$\therefore$所求直线方程为$(-4-x)-2(2-y)-3=0$，即$x-2y+11=0$.
(2)设$l_1$与$l$的交点为$A(a,8-2a)$，
由题意知，点$A$关于点$P$的对称点$B(-a,2a-6)$在$l_2$上，
代入$l_2$的方程得$-a-3(2a-6)+10=0$，
解得$a=4$，即点$A(4,0)$在直线$l$上，
所以直线$l$的方程为$x+4y-4=0$.]

角度 2 关于线对称
例 4
(1) (2025·大庆模拟)直线 $ y = \frac{\sqrt{3}}{3}x $ 关于直线 $ x = 1 $ 的对称直线为 $ l $，则直线 $ l $ 的方程是 (C)
A.$ \sqrt{3}x + y - 2 = 0 $
B.$ \sqrt{3}x + y + 2 = 0 $
C.$ x + \sqrt{3}y - 2 = 0 $
D.$ x + \sqrt{3}y + 2 = 0 $

答案： 例4
(1)C [
(1)直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$与直线$x=1$交于点$A(1,\frac{\sqrt{3}}{3})$，
所以直线$l$的斜率为$-\frac{\sqrt{3}}{3}$且过点$A(1,\frac{\sqrt{3}}{3})$，
所以直线$l$的方程为$y-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-1)$，
即$x+\sqrt{3}y-2=0$.]

(2) 已知入射光线经过点 $ M(-3,4) $，被直线 $ l:x - y + 3 = 0 $ 反射，反射光线经过点 $ N(2,6) $，则反射光线所在直线的方程为____.

答案： 例4
(2)$6x-y-6=0$ [
(2)设点$M(-3,4)$关于直线$l:x-y+3=0$的对称点为$M'(a,b)$，则反射光线所在直线过点$M'$，
所以$\begin{cases}\frac{b-4}{-3-a}\cdot1=-1\frac{a-(-3)}{2}-\frac{b+4}{2}+3=0\end{cases}$
解得$a=1,b=0$.
又反射光线经过点$N(2,6)$，
所以所求直线的方程为$\frac{y-0}{6-0}=\frac{x-1}{2-1}$，
即$6x-y-6=0$.]

已知直线 $ l:2x - 3y + 1 = 0 $，点 $ A(-1,-2) $. 求：
(1) 点 $ A $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ A' $ 的坐标；
(2) 直线 $ m:3x - 2y - 6 = 0 $ 关于直线 $ l $ 的对称直线 $ m' $ 的方程；
(3) 直线 $ l $ 关于点 $ A $ 对称的直线 $ l' $ 的方程.解 (1)设$A'(x,y)$，则$\begin{cases}\frac{y+2}{x+1}×\frac{2}{3}=-1\\2×\frac{x-1}{2}-3×\frac{y-2}{2}+1=0\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-\frac{33}{13}\\y=\frac{4}{13}\end{cases}$即$A'(-\frac{33}{13},\frac{4}{13})$.(2)在直线$m$上取一点，如$M(2,0)$，则$M(2,0)$关于直线$l$的对称点必在$m'$上.设对称点为$M'(a,b)$，则$\begin{cases}2×\frac{a+2}{2}-3×\frac{b+0}{2}+1=0\frac{b-0}{a-2}×\frac{2}{3}=-1\end{cases}$

答案： 训练3 解
(1)设$A'(x,y)$，
则$\begin{cases}\frac{y+2}{x+1}×\frac{2}{3}=-1\\2×\frac{x-1}{2}-3×\frac{y-2}{2}+1=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-\frac{33}{13}\\y=\frac{4}{13}\end{cases}$即$A'(-\frac{33}{13},\frac{4}{13})$.
(2)在直线$m$上取一点，如$M(2,0)$，
则$M(2,0)$关于直线$l$的对称点必在$m'$上.
设对称点为$M'(a,b)$，
则$\begin{cases}2×\frac{a+2}{2}-3×\frac{b+0}{2}+1=0\frac{b-0}{a-2}×\frac{2}{3}=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{6}{13}\\b=\frac{30}{13}\end{cases}$即$M'(\frac{6}{13},\frac{30}{13})$.
设$m$与$l$的交点为$N$，则由$\begin{cases}2x-3y+1=0\\3x-2y-6=0\end{cases}$
得$N(4,3)$.又$m'$经过点$N(4,3)$，
$\therefore$由两点式得直线$m'$的方程为$9x-46y+102=0$.
(3)法一 在$l:2x-3y+1=0$上任取两点，
如$P(1,1),N(4,3)$，则$P,N$关于点$A$的对称点$P',N'$均在直线$l'$上.
易知$P'(-3,-5),N'(-6,-7)$，
由两点式可得$l'$的方程为$2x-3y-9=0$.
法二 设$Q(x,y)$为$l'$上任意一点，
则$Q(x,y)$关于点$A(-1,-2)$的对称点为$Q'(-2-x,-4-y)$.
$\because Q'$在直线$l$上，$\therefore2(-2-x)-3(-4-y)+1=0$，
即直线$l'$的方程为$2x-3y-9=0$.]