《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式 $ C_{(\alpha - \beta)} $：
$ \cos(\alpha - \beta) = $\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta；
(2)公式 $ C_{(\alpha + \beta)} $：
$ \cos(\alpha + \beta) = $\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta；
(3)公式 $ S_{(\alpha - \beta)} $：
$ \sin(\alpha - \beta) = $\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta；
(4)公式 $ S_{(\alpha + \beta)} $：
$ \sin(\alpha + \beta) = $\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta；
(5)公式 $ T_{(\alpha - \beta)} $：$ \tan(\alpha - \beta) = $\frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}；
(6)公式 $ T_{(\alpha + \beta)} $：$ \tan(\alpha + \beta) = $\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}.

答案： $1.(1)\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta(2)\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta(3)\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta(4)\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta(5)\frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}(6)\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$

2. 辅助角公式
$ a\sin \alpha + b\cos \alpha = $\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin(a + \varphi)，其中 $ \sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} $，$ \cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} $.

答案： $2.\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin(a + \varphi)$

3. 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式 $ S_{2\alpha} $：$ \sin 2\alpha = $2\sin \alpha \cos \alpha.
(2)公式 $ C_{2\alpha} $：$ \cos 2\alpha = $\cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha = 2\cos^{2} \alpha - 1 = 1 - 2\sin^{2} \alpha.
(3)公式 $ T_{2\alpha} $：$ \tan 2\alpha = $\frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^{2} \alpha}.

答案： $3.(1)2\sin \alpha \cos \alpha(2)\cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha \quad 2\cos^{2} \alpha - 1 1 - 2\sin^{2} \alpha(3)\frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^{2} \alpha}$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 $ \alpha $，$ \beta $ 是任意的. (√)
(2)存在实数 $ \alpha $，$ \beta $，使等式 $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha + \sin \beta $ 成立. (√)
(3)存在实数 $ \alpha $，使 $ \tan 2\alpha = 2\tan \alpha $. (√)
(4)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求得来的. (√)

答案： 1.
(1)√
(2)√
(3)√
(4)√

2. (人教 A 必修一 P223T2 改编)已知 $ \sin(\alpha - \pi) = \frac{3}{5} $，则 $ \cos 2\alpha = $\frac{7}{25}.

答案： $2.\frac{7}{25}[\sin(\alpha - \pi) = - \sin \alpha = \frac{3}{5},$故$\sin \alpha = - \frac{3}{5},$所以$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^{2} \alpha= 1 - 2 × (-\frac{3}{5})^{2} = \frac{7}{25}.]$

3. (苏教必修二 P55 例 2 改编)求值 $ \cos 15° = $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}.

答案： $3.\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}[\cos 15^{\circ} = \cos(60^{\circ} - 45^{\circ})= \cos 60^{\circ} \cos 45^{\circ} + \sin 60^{\circ} \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}.]$

4. (北师大必修二 P156 例 4 改编)已知 $ \tan \alpha = 2 $，$ \tan \beta = -\frac{1}{3} $，则 $ \tan(\alpha - \beta) = $7.

答案： $4.7[\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}\frac{2 - (-\frac{1}{3})}{1 + 2 × (-\frac{1}{3})} = 7.]$