《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例 1 在数列$\{ a_n \}$中，$ a_1 = 1 $，$ a_n = \frac{1}{2}a_{n - 1} + 2(n \geq 2) $，则数列$\{ a_n \}$的通项公式为______.

答案： $a_n = -3 \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} + 4$

例 2 (2025·广东大联考)在数列$\{ a_n \}$中，$ a_1 = 3 $，且$ a_{n + 1} = 3a_n + 4n - 6(n \in \mathbf{N}^*) $，则$\{ a_n \}$的通项公式为______.

答案： $a_n = 3^n - 2(n - 1)$

例 3 (2025·宜春调研)已知正项数列$\{ a_n \}$中，$ a_1 = 2 $，$ a_{n + 1} = 2a_n + 3 × 5^n $，则数列$\{ a_n \}$的通项$ a_n = $(D)

A.$ - 3 × 2^{n - 1} $
B.$ 3 × 2^{n - 1} $
C.$ 5^n + 3 × 2^{n - 1} $
D.$ 5^n - 3 × 2^{n -$$1} $

答案： D

(1) 已知数列$\{ a_n \}$满足 $ a_{n + 1} = 2a_n + n $，$ a_1 = 2 $，则 $ a_n = $$2^{n+1} - n - 1$.

答案：
(1) $2^{n+1} - n - 1$

(2) (2025·烟台质检)若数列$\{ a_n \}$满足 $ a_1 = 2 $，$ a_{n + 1} - 2a_n = 3^{n - 1} $，则数列$\{ a_n \}$的通项公式 $ a_n = $$2^{n-1} + 3^{n-1}$.

答案：
(2) $2^{n-1} + 3^{n-1}$

例 4 已知数列$\{ a_n \}$满足 $ a_1 = 1 $，$ a_2 = 2 $，且 $ a_{n + 1} = 2a_n + 3a_{n - 1}(n \geq 2,n \in \mathbf{N}^*) $，则数列$\{ a_n \}$的通项公式 $ a_n = $______.

答案： $\frac{3^n - (-1)^n}{4}$

训练 2 若 $ x = 1 $ 是函数 $ f(x) = a_{n + 1}x^4 - a_nx^3 - a_{n + 2}x + 1(n \in \mathbf{N}^*) $ 的极值点, 数列$\{ a_n \}$满足 $ a_1 = 1 $，$ a_2 = 3 $，则数列$\{ a_n \}$的通项公式 $ a_n = $$3^n - 1$.

答案： $3^n - 1$

例 5 已知在数列$\{ a_n \}$中，$ a_1 = 1 $，$ a_{n + 1} = \frac{2a_n}{a_n + 3} $，则 $ a_n = $______.

答案： $\frac{2^{n-2}}{3^{n-1} - 2^{n-2}}$

训练 3 (2025·重庆诊断)已知数列$\{ a_n \}$满足 $ a_1 = 1 $，$ a_{n + 1} = \frac{a_n}{4a_n + 1}(n \in \mathbf{N}^*) $，则(D)

A.$ a_n = \frac{1}{n} $
B.$ a_n = \frac{1}{2n - 1} $
C.$ a_n = \frac{2n - 1}{4n - 3} $
D.$ a_n = \frac{1}{4n - 3} $

答案： D