《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例2 (2025·安徽 A10 联盟质检) 已知$m$，$n\in (0,+\infty)$，$\frac{1}{m} + n = 4$，则$m + \frac{9}{n}$的最小值为(B)

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
角度3 消元法

答案： 例2 B [∀m,n ∈ (0,+∞)，m + $\frac{9}{n}$ = $\frac{1}{4}$(m + $\frac{9}{n}$)($\frac{1}{m}$ + n) = $\frac{1}{4}$(10 + $\frac{9m}{n}$ + $\frac{n}{m}$) ≥ $\frac{1}{4}$(10 + 2$\sqrt{\frac{9m}{n} \cdot \frac{n}{m}}$) = 4，当且仅当$\frac{9m}{n}$ = $\frac{n}{m}$，且$\frac{1}{m}$ + n = 4，即m = 1,n = 3时等号成立，则m + $\frac{9}{n}$的最小值为4.]

例3 已知正数$a$，$b$满足$a^2 - 2ab + 4 = 0$，则$b - \frac{a}{4}$的最小值为(B)

A.$1$
B.$\sqrt{2}$
C.$2$
D.$2\sqrt{2}$

答案： 例3 B [
∵a ＞ 0,b ＞ 0,a² - 2ab + 4 = 0，则b = $\frac{a}{2}$ + $\frac{2}{a}$，
∴b - $\frac{a}{4}$ = $\frac{a}{2}$ + $\frac{2}{a}$ - $\frac{a}{4}$ = $\frac{a}{4}$ + $\frac{2}{a}$ ≥ 2$\sqrt{\frac{a}{4} \cdot \frac{2}{a}}$ = $\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{a}{4}$ = $\frac{2}{a}$，即a = 2$\sqrt{2}$时，等号成立，此时b = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$.]

(1) (2025·金华调考) 若$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，且$a + 2b = ab$，则$2a + b$的最小值为(B)

A.$6$
B.$9$
C.$4$
D.$8$

答案： 训练1
(1)B
(2)-2 [
(1)法一 由a + 2b = ab得b = $\frac{a}{a - 2}$，因为a ＞ 0,b ＞ 0，所以2a + b = 2a + $\frac{a}{a - 2}$ = 2(a - 2) + $\frac{2}{a - 2}$ + 5 ≥ 2$\sqrt{2(a - 2) \cdot \frac{2}{a - 2}}$ + 5 = 9，当且仅当a - 2 = $\frac{1}{a - 2}$，即a = b = 3时，等号成立.法二 因为a ＞ 0,b ＞ 0，且a + 2b = ab，所以$\frac{a + 2b}{ab}$ = $\frac{2}{a}$ + $\frac{1}{b}$ = 1，因为2a + b = (2a + b)($\frac{2}{a}$ + $\frac{1}{b}$) = 5 + $\frac{2b}{a}$ + $\frac{2a}{b}$ ≥ 5 + 2$\sqrt{\frac{2b}{a} \cdot \frac{2a}{b}}$ = 9，当且仅当$\frac{2b}{a}$ = $\frac{2a}{b}$，即a = b = 3时，等号成立，所以2a + b的最小值为9.故选B.]

(2) 已知$x ＜ 2$，则$\frac{4}{x - 2} + x$的最大值是______.

答案： 训练1
(1)B
(2)-2 [
(2)由x ＜ 2知2 - x ＞ 0，则$\frac{4}{x - 2}$ + x = -($\frac{4}{2 - x}$ + 2 - x) + 2 ≤ -2$\sqrt{\frac{4}{2 - x} \cdot (2 - x)}$ + 2 = -2，当且仅当$\frac{4}{2 - x}$ = 2 - x，即x = 0时等号成立.]

考点二 利用基本不等式求参数的值或范围
例4 若对于任意的$x ＞ 0$，不等式$\frac{x^2 + 3x + 1}{x}\geqslant a$恒成立，则实数$a$的取值范围为(C)

A.$[5,+\infty)$
B.$(5,+\infty)$
C.$(-\infty,5]$
D.$(-\infty,5)$

答案： 例4 C [令f(x) = $\frac{x² + 3x + 1}{x}$，由题意可得a ≤ f(x)min，f(x) = x + $\frac{1}{x}$ + 3 ≥ 2$\sqrt{\frac{1}{x} \cdot x}$ + 3 = 5，当且仅当x = $\frac{1}{x}$，即x = 1时等号成立，a ≤ f(x)min = 5，所以实数a的取值范围为(-∞,5].]

(1) 设$a ＞ 0$，若关于$x$的不等式$x + \frac{a}{x}\geqslant 6$对$x\in (0,+\infty)$恒成立，则$a$的最小值是(C)

A.$1$
B.$4$
C.$9$
D.$16$

答案： 训练2
(1)C
(2)A [
(1)因为x ＞ 0，由x + $\frac{a}{x}$ ≥ 2$\sqrt{x \cdot \frac{a}{x}}$ = 2$\sqrt{a}$，当且仅当x = $\frac{a}{x}$，即x = $\sqrt{a}$时取等号，则2$\sqrt{a}$ ≥ 6，可得a ≥ 9.]

(2) 已知$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，且$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$，若$2x + y ＜ m^2 - 8m$有解，则实数$m$的取值范围为(A)

A.$(-\infty,-1)\cup (9,+\infty)$
B.$(-\infty,-1]\cup [9,+\infty)$
C.$(-9,-1)$
D.$[-9,1]$

答案： 训练2
(1)C
(2)A [
(2)因为x ＞ 0,y ＞ 0，且$\frac{2}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = 1，所以2x + y = (2x + y)($\frac{2}{x}$ + $\frac{1}{y}$) = 5 + $\frac{2y}{x}$ + $\frac{2x}{y}$ ≥ 5 + 2$\sqrt{\frac{2y}{x} \cdot \frac{2x}{y}}$ = 9，当且仅当$\frac{2y}{x}$ = $\frac{2x}{y}$，且$\frac{2}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = 1，即x = 3时取等号，此时2x + y取得最小值9，若2x + y ＜ m² - 8m有解，则9 ＜ m² - 8m，解得m ＞ 9或m ＜ -1，即实数m的取值范围为(-∞,-1) ∪ (9,+∞).]